小学拆分项目类型
sn = n(a 1+an)/2 = na 1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式:
sn = na 1(q = 1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)
其他的
1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2.位错减法
适用题型:适用于通项公式为算术线性函数乘以等比和算术几何级数乘法{an}和{bn}分别为算术级数和几何级数的数列形式。Sn = a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn。
例如:
an=a1+(n-1)d
bn=b1 q^(n-1)
Cn=anbn
TN = a 1b 1+a2 B2+a3 B3+a4 B4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
TN-qTn = a 1b 1+B2(a2-a 1)+B3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
TN(1-q)= a 1b 1-anb(n+1)+d(B2+B3+B4+...bn)_ _ _ _ _ _ _①
= a 1b 1-a 1 q^n+d b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
= a 1b 1-(a 1+nd-d)b1q^n+d b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
Tn=上式/(1-q)
此外，公式①可以变形如下
TN(1-q)= a 1b 1-AnB(n+1)+D(Sn-b 1)Sn是{bn}的前n项之和。
这种形式更容易理解和记忆。
3.反向加法
这是用来推导等差数列前n项求和公式的方法，即把一个数列逆序排列(逆序)，然后加到原数列上得到n (a1+an)。
Sn =a1+ a2+ a3+......+安
Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)......+a1
上下相加得到2Sn，即Sn= (a1+an)n/2。
4.分组方法
有一种级数，既不是等差数列，也不是等比数列。这类数列如果适当分解，可以分成几个等差数列、等比例数列或普通数列，然后分别求和，合并。
例如:an = 2 n+n-1
5.分裂术语法
适用于分数形式的通项公式。一项分成两种或两种以上的差分形式，即an = f (n+1)-f (n)，然后累加时取消很多中间项。
常用公式:
(1)1/n(n+1)= 1/n-1/(n+1)，1/(n-1)-1/n & lt；1/N2 & lt；1/n-1/n+1(n≥2)
(2)1/(2n-1)(2n+1)= 1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)= 1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5) n n！=(n+1)！-不！
(6)1/(√n+√( n+a))= 1/a(√( n+a)-√n)
【例题】求数列前n项之和an=1/n(n+1)。
解:an = 1/n(n+1)= 1/n-1/(n+1)(分裂项)
规则
锡
= 1-1/2+1/2-1/3+1/4 ...+1/n-1/(n+1)
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
总结:这种变形的特点是原系列中的每一项拆分成两项后，中间的大部分项相互抵消。只剩下几样东西了。
注:其余项目具有以下特征。
1剩余项前后位置对称。
其余各项的正负是相反的。
6.数学归纳
一般来说，要证明一个与正整数n有关的命题，有以下步骤:
(1)证明当n取第一个值时命题成立；
(2)假设n = k(k的第一个值≥ n，k为自然数)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。
示例:
验证:
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+……+n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明:
当n=1时，有:
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假设当n=k时命题成立，那么:
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+……+k(k+1)(k+2)(k+3)=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
那么当n=k+1时，有:
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+……+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4+2×3×4 * 5+3×4×5×6+……+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5+1)
=[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即当n=k+1时，原方程仍然成立，这是用归纳法证明的。
7.一般化
先简化通式，再求和。
比如求数列的前n项之和1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，...此时先计算an，再通过分组等方法求和。
8.联合总和:
例如:1-2+3-4+5-6+...+(2n-1)-2n
方法一:(合并)
求奇数项和偶数项之和，然后相减。
方法二:
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]