小学六年级数学竞赛(求答案，)

教学目标

三维图形，主要考点集中在不规则体的表面积和体积的计算。其中，有一个独特的“染色问题”，也是常见的“几何奥数问题”

小学时，除了学习平面图形，还学习了一些简单的立体图形，如长方体、正方体、直圆柱体、直圆锥体、球体等。，并知道它们的体积和表面积的计算公式，总结如下。

★★★★立方体:我们也可以称之为立方体。它是一个特殊的长方体，它的六个面都是正方形。如果它的边长是，那么我们可以得到:

立方体的表面积:

立方体的体积:

★★★★长方体:如果一个长方体的长、宽、高分别为，那么:

长方体的表面积:

长方体的体积:

★★★圆柱体:如右图所示，圆柱体的底部是一个半径为的圆:圆柱体的侧面展开图是一个长方形，宽度相当于圆柱体的高度，长度相当于圆柱体底部的周长；

圆柱体的表面积:

气缸容积:

★★★圆锥体:如右图所示，圆锥体的底部是一个半径为的圆:圆锥体的侧面展开图是一个扇形；

圆锥体的体积:

★★★★球体:

数学竞赛中有许多有趣的几何题。解决这些有趣问题的关键在于巧妙的构思和恰当的设计，将形象思维和抽象思维结合起来。

教师版答案提示:如下图所示，将长方体容器倾斜，使一端的水刚好到达容器口的边缘A，水平面的另一端刚好到达边缘B时，容器刚好装了一半的水。如果不符合上述情况，容器里的水就没有装满一半。如图②所示，容器中的水刚好半满，但图①和③中没有。图①一半以上，图③一半以下。

三维图形的表面积

例1一个边长为1 cm的立方体，一层层叠起来，如图所示。当它叠在第五层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？

解析:图中所含块数的规律:第四层1，1，3，6，10，15，依次增加2，3，4，5…个。重叠到五楼时，立体图是上下的。

实例2具有两个圆柱形部分，高度为10厘米，底面直径为6厘米。该部分的一端具有高度为10厘米且底面直径为6厘米的圆柱形部分。零件的一端有一个圆柱直孔，如图所示。圆孔的直径为4厘米，孔的深度为5厘米。如果与空气接触的部分涂防锈漆，应该涂多少平方厘米？( )

& lt分析>观察显示，绘制的部分包括圆柱体的外表面和圆孔的内表面。

零件的上下底面和零件的外侧面；

零件内侧为:，涂防锈漆的部分为:。

巩固图片右边是一顶帽子。帽子的顶部是圆柱形的，用黑布制成；帽檐部分是一个由白布制成的圆环。如果冠的半径、高度、宽度都是厘米，那么哪种颜色的布用的多？

分析:一样多。黑布:白布:。

例3如图(两端不封闭)制作一个工件需要多少平方厘米的铁皮？( )

解析:工件既不是圆柱体，也不是圆锥体，不是我们常见的规则几何图形。所以要考虑如何把这个几何图形转化成大家熟悉的常见几何图形。如下图所示，如果拿同一个工件，把两个工件放在一起，可以做一个正圆柱体，那么一个工件的侧面积就是这个圆柱体侧面积的一半。圆柱体的高度为:，圆柱体的侧面面积为:。一个工件需要铁皮:(平方厘米)。在解决不规则立体图形的问题时，关键是先将其转化为规则立体图形，然后再利用我们掌握的公式和性质来解决问题。事实上，我们在春季课堂上已经接触到了这种思想。

巩固(五年级春季学过的相关题目)(2007年希望杯训练题)把一个底面为正方形的长方体块锯掉，变成如右图所示的六面体ABCD-EFGH，其中最长边DH = 8cm，最短边AB = BC = CD = DA = BF = 4cm。这个六面体的体积是多少立方厘米？

分析:42。这个六面体的体积是一个长4厘米、宽4厘米、高12厘米的长方体的一半，即4×4×12÷2=96(立方厘米)。

延伸(华金杯2005)如图1，是一个直三棱柱的曲面展开图，其中灰黑部分为边长等于1的正方形。问:这个直三棱柱的体积是多少？

解析:如图2所示，这个直三棱柱是一个沿对角线切割的长为1的立方体。立方体的体积是1，这个直三棱柱的体积是立方体的一半。

例4(春季杯数学邀请赛)一个立方体的表面积是54平方厘米。如果用一刀切成两个长方体，两个长方体的表面积之和是多少？

解析:已知正方形的表面积为54平方厘米，那么正方形各边的面积为54÷6=9(平方厘米)。切成两个长方体后，两个长方体的表面积之和比原来的正方形表面积增加了9×2=18(平方厘米)。因此，两个长方体的表面积之和为:54+6548。

前面的店铺如右图所示。正方形ABCD的边长是6厘米。通过正方形中任意两点画一条直线，正方形就可以分成9个小矩形。这九个小矩形的周长之和是多少？

解析:综合来看，求九个小矩形的周长之和时，AB、BC、CD、AD四条边用了1次，其他四条线用了两次，所以九个小矩形的周长之和为4×6+4×2×6=72 (cm)。

千铺(五年级春季学的相关思想的题目)是一个立方体形状的木块，边长1米。沿水平方向锯成三块，每块按任意大小锯成四块，每块按任意大小锯成五小块，* * *得到60个各种大小的长方体。这60个长方体的表面积之和是多少？

分析表明，原立方体有六个外表面，每个表面的面积为1× 1 = 1(平方米)。不管后来锯了多少块，这六个外表面的6平方米总是包含在后来的小木块的表面积中。考虑到每锯一次，会得到1平米的两个面，现在是一个* *。

例5(清华附2005年训练题)把一个表面积为红色的长方体分成几个边长为1cm的小正方体，其中只有三个一边没有红色。原来长方体的表面积是多少平方厘米？

分析:长度:3+1+1 = 5cm；宽度:1+1+1 = 3cm；身高:1+1+1 = 3cm；所以原来长方体的表面积是:

(3×5+3×5+3×3)3×2=78平方厘米。

钱普(五年级春天学的相关思想的题目)右图是一个4×5×6的立方体。如果它的表面被涂成红色，那么有多少小立方体被涂成红色的一面、两面和三面？

解析:只有8个顶点的8个立方体三面涂成红色；

双面涂红的，***(4-2)×4+(5-2)×4+(6-2)×4=36件；

表面的中间部分，一面涂上红色:

(4-2)×(5-2)×2+(4-2)×(6-2)×2+(5-2)×(6-2)×2 = 52块。

没有涂成红色的方块是:(4-2)×(5-2)×(6-2)=24。注意帮助孩子理解，然后总结规律。

延伸(五年级春天学的相关思想的题目)右图是由27个小立方体组成的3×3×3的立方体。如果立方体的表面被涂成红色，那么在角落的八个立方体中有三个面是红色的，而中心的立方体根本不是红色的。剩下的18个立方体中，12个立方体两面都是红色，6个立方体一面是红色。这样两边都是红色的小方块的数量是一边是红色的小方块的两倍，三边都是红色的小方块的数量是完全没有红色的小方块的八倍。问:有多少个立方体组成？当表面涂成红色时，会发生相反的情况，即一面是红色的立方体比两面都是红色的立方体多一倍，根本没有红色。

小正方形是三面都是红色的小正方形的八倍？

解析:对于n3个立方体组成的n×n×n立方体，有8个立方体三面涂红色，12× (n-2)个立方体两面涂红色，6× (n-2)个立方体一面涂红色，(n-2)个立方体不涂。给定条件，一个完全没有红色的小正方形是三面都有红色的小正方形的8倍，即(n-2) 3 = 8× 8，解为n = 6。

三维图形的体积

例6(2005年华金杯)如图所示，一个锥形容器A和一个半球形容器B，其圆形口的直径和容器的高度如图所示。如果用容器A向容器B注水，至少要注入多少次？

解析:锥形容器A的体积为:，半球形容器B的体积为:，所以至少要注水8次。

一个24厘米高的圆锥形容器，里面装满了水。如果把水倒入一个直径与圆锥体底部相同的圆柱形容器中，水面有多高？

解析:设底面积为s，缸内水面高度为h，根据题意:

如右图所示，锥形容器中的水只是它的体积，水面的高度是容器高度的几分之一。

解析:如果水面的高度是容器的两倍，那么水面的半径也是容器底面的两倍。根据问题的意思，

实施例8球落入装满水的圆柱形桶中。球的直径是15 cm，桶底直径是60 cm。球有一个浸入水中的体积(见右图)。球落入水中后，水桶的水位上升了多少厘米？

解析:球的体积为:(立方厘米)；球浸入水中的部分为:(立方厘米)；水桶底部面积为:(平方厘米)；水位上升的高度为:(厘米)。

例9(选自2006年北京五中实验班)一个装满水的圆柱形玻璃杯，底面积80平方厘米，水深8厘米。现在，一个底部面积为16平方厘米的长方体铁块垂直放在水中，仍有部分铁块裸露在外。现在水深多少厘米？

解析:根据等积变原理:水的体积除以水的底面积就是水的高度。

(定律1):80×8÷(80-16)= 640÷64 = 10(cm)；

方法二:让水位上升厘米。根据上升部分的体积=铁块浸入人体水中的体积，方程为:，求解为:，8+2=10 (cm)。

将一个底部半径为20厘米的圆柱形桶固结，桶中一段半径为5厘米的圆柱形钢浸入水中。钢从桶里取出后，桶里的水下降了6厘米。这块钢有多长？

解析:根据问题的意思，圆柱形钢的体积等于水桶中落下的水的体积，因为钢的底半径就是水桶的底半径，即钢的底面积就是水桶的底面积。根据一定的体积，圆柱体的底面积与高度成反比，可以知道钢的长度是水面下落高度的16倍。

(定律1): 6 ÷ () = 96(厘米)

方法二:3.14×20×6÷(3.14×5)= 96(cm)。

展开(五年级春天学的题目，希望老师尽量抽时间回忆一下这个题目)一个盛满水的圆柱形容器的底面内径为5 cm，深度为20 cm，水深为15 cm。现在将一个底半径为2 cm，高为18 cm的铁筒垂直放入容器中。找出此时容器的水深是多少厘米。

分析:本题可能有三种情况:①水深没有铁筒高；②水深高于铁桶但不溢出；③水溢出。放入铁筒后，水的横截面在铁筒周围呈环状，如图所示，截面积为× 5× 5 —× 2 = 21。收入缸。18厘米。所以此时容器的水深是17 cm。

【点评】请考虑水深为16 cm或19 cm的情况，与本问题的结果进行对比。

例10一个立体图形从上到下，从前到后，从左到右都是一样的图形。它是一个边长3厘米的正方形，分成9个面积相等的小方块(如右图)。计算三维物体的总表面积和体积。

解析:根据三视图，可以判断该立体是一个长3 cm的立方体，在每个面的中心打一个底面积为1cm ^ 2，高3 cm的正方形，如下图右图所示。

设固体的总表面积和总体积为:

(平方厘米)，

(立方厘米)。

在一个边长为4厘米的立方体块的每个面的中心打一个洞。孔为正方形，边长1 cm，孔深1 cm(如下图)。挖完后求块的表面积和体积。

分析:大立方体的边长为4cm，挖出的小立方体边长为1cm，说明大立方体块没有被挖通。所以每挖一个小正方体块，大正方体的表面积就在“小洞”里增加四个侧面积。六个小孔中新增面积之和:1× 1× 4× 6 = 24(平方厘米)，原立方体表面积:42× 6 = 96(平方厘米)，挖好后表面积:96+24 = 120(平方厘米)，体积:。

如图，在一个立方体的两对侧面的中心做一个长方体孔，在上下底面的中心做一个圆柱孔。已知立方体的边长为10 cm，侧面的孔是边长为4 cm的正方形，上下两边的孔是直径为4 cm的圆。求这个三维图形的表面积和体积。

解析:侧面面积为6×10×10-4×4-22×2 = 536-8。

内表面积为:16×4×3+2×(4×4-×22)+2×2×3 = 192+32-8+24 = 224+16。

总表面积= 224+16+536-8 = 760+8 = 785.12(平方厘米)。

计算体积时，把挖空部分的立体图拿出来，如图，只要能算出这个几何体的体积。挖掘几何图形的体积为:

4×4×4×3+4×4×4+2× ×22×3=192+64+24 =256+24 .

几何体积为:1o×1o×1o-(256+24)= 668.64(立方厘米)。

[点评]如果能解决这个问题，所有不规则体的表面积和体积计算都不在话下。必须注意的是，思路要清晰，比如表面积是从外到内讨论的，体积直接就是整个截除部分。细节决定成败:第一，计算表面积时，内圆心的正方形减去内切圆容易被忽略；第二，这个问题中大立方体的边长是10 cm，这是一个非常伤脑筋的数字，直接导致很多地方出现了3。呵呵，很多人在这里都很尴尬。

例11 (03数学电视理科竞赛)如图1所示，ABCD是直角梯形(单位:厘米)。

(1)以AB为轴，绕此轴旋转梯形，得到一个旋转体。它的体积是多少？

(2)如果以CD为轴，梯形绕此轴旋转，旋转体的体积是多少？

解析:(1)如图2所示，所需体积可视为BCDE绕AB旋转体和△AED绕AB旋转体之和，即(立方厘米)。

(2)如图3所示，所需体积可视为ABCE绕EC旋转体与△ADE绕EC旋转体之差，即

(立方厘米)。

例12(第七届祖冲之杯数学邀请赛)有一块长方形的铁片，长40厘米，宽20厘米。请用它做一个5 cm深的长方体无盖铁皮盒(体积越大越好)。你做的铁皮盒子的体积是多少？

解析:方法1: (1)如右图所示，在一个40×20的矩形铁皮的四个角上切下边长为5 cm的方形铁皮，然后焊接成一个矩形开口铁皮盒。这个铁皮盒子的长度=40-5-5=30 (cm)，宽度= 20-5-5 = 60。

(2)如右图所示，从一个40×20的矩形铁皮的左侧两个角上切下两个边长为5cm的正方形(两块)，并将其紧紧地焊接在右侧的中间部位，这样制成的无盖铁皮盒的长= 40-5 = 35 (cm)，宽= 20-5-5 = 10 (cm)，高= 100。

(3)如右图所示，从一块40×20的矩形铁皮的左右两边各切下一块宽5cm的矩形铁皮(* * *两块)，分别焊接到中间的上、下两个部位，制成长40-5-5-5-5 =20 (cm)、宽20 (cm)的无盖铁皮盒。

方法二:想要最大化音量，就要充分利用手中的铁片。如果你能使用所有的铁片，你就能得到最大的铁盒。如下图(1)所示，我们从原来的铁皮上切下4个5×20的长方体，如图(2)所示，可以焊接成一个5 cm深的长方体铁皮盒，所以此时的最大体积为20×20×5=2000(立方厘米)。

主题展望

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练习三

1.用一个边长为1 cm的正正方形做一个如下图所示的立体图形。这个图形的表面积是多少？(对照实施例1)

解析:整体看面积问题，上下两边的表面积始终是3×3；看前后左右，都是2×3+1，所以总数是9×2+7×4=18+28=46cm2。

2.(奥数网选择题)把长6分米的立方体块平均分成27个小立方体，表面积增加了多少平方分米？(比较例4)

解析:为了把正方体平均分成27个正方体，必须按图分。对于每个划分，表面积将增加边长为6分米的两个正方形的面积。* * *需要分成六个地方，增加了12个正方形的面积。6 ×12=432(平方分米)

3.有两个装满水的圆锥形容器，底半径10 cm，高30 cm。将其中的水全部倒入一个底部半径为20厘米的圆柱形容器中，求水深。(对照实施例7)

分析:(厘米)

4.(华金杯2005)直角三角形的三条边长分别是3、4和5。如果以边长4为轴旋转，会得到一个立体。求这个固体的体积。(例如，11)

解析:绕长度为4的直角边旋转的立体也是一个圆锥体，底面半径为3，由圆锥体的体积公式得出:

5.(2005年全国小学数学奥林匹克)有一个边长为12 cm的正方体块，在它的上、前、左中心分别钻一个边长为4 cm的方孔(穿透正方体块)。射孔后区块的体积是多少？(对照实例10)

解析:(立方厘米)。

6.如图，圆锥形容器盛3升水，水位正好是圆锥体高度的一半。这个容器能装多少水？(比较例6)

解析:如果圆锥形容器底半径为，水面半径为，容器体积为，

水的体积是:

说明容器能装8份3升水，所以也能装水:3× (8-1) = 21(升)。

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