步步为营，招兵买马——结合实例谈思维能力在专题研究中的应用
拓展练习占“练一练”题目比例1/10。是基础锻炼、变式锻炼、拓展锻炼三个层次中的最高层次。写拓展练习的目的是为了进一步理解重要内容，培养数学思维和解决问题的能力。完成拓展训练需要丰富的数学素养，数学素养可以进一步提高和发展。
为了有序有效地促进儿童思维能力的发展，体现生活数学的魅力，我们不妨将这道数学游戏题进行拓展，设计成一节专题研究课，可以用来带领初中生进行一次培养数学素养的训练之旅，在专题研究中撕毁思维能力，体验探索“秘密”的乐趣，感受数学建模思想带来的慰藉，领悟数学蕴含的人生哲理。
一、由简单到复杂，循序渐进的逻辑推理。
通过下面的例子启发孩子有条不紊的思考，体验由简单到复杂的过程，形成循序渐进的推理习惯。
问题1:用3、4、5三个数字，任意组成一个一位数和一个两位数，求它们的乘积。产品最多的一方获胜。
孩子们不需要一点时间就能很快得到正确答案。最大乘积的公式是5×43=215。
问题2:用2、3、4、5这四个数字组成两个随机的两位数，求它们的乘积。产品最多的一方获胜。
学生可以重点学习53×42或52×43这两个公式。因为孩子已经有了“用几个数写出最大数”的经验，所以会不自觉地使用。通过计算，我们可以得出52×43=2236是乘积最大的公式。
问题3:用1，2，3，4，5这五个数字任意组成一个两位数和一个三位数，求它们的乘积。产品最多的一方获胜。
有了前两个问题作为基础，孩子就有了获得最大产品的心理准备。在此基础上，带领孩子比较问题3和问题2的区别。让孩子们也能感受到。其实第三个问题是在第二个问题的基础上，是在52后面还是在43后面加上新加的数字“1”。然后得到下面的公式:
521×43=22403,
52×431=22412。
因此很容易得到52×431=22412为最大乘积的公式。
从三个问题的表面来看，遵循了一个由简单到复杂的过程。但由于逻辑推理的有序性、渐进性和循序渐进性，儿童在推理过程中充分体验到了思维的先进性，获得了真知灼见。让孩子在数学素养上得到更好的培养。
第二，从数字和单词中，hit floor在数学上是抽象的。
数学语言是世界上最聪明的语言。用字母代表数字，是学生思维的质的飞跃。字母代表数字，有很强的符号感。符号意识是学生数学抽象性的重要表现，能够表达更多的、一般的数学原理，以及现实生活中蕴含的本质与美。
所以我们会参考上面提到的1，2，3，4，5，按照5，4，3，2，1的顺序使用字母A，B，C，D，E。数字是用字母来表示的，每个字母所代表的原始数字的大小没有实质性的意义。剩下的就是他们之间的关系了。即a & gtb & gtc & gtd & gte .
这时，我们可以用字母来表示这些数字，来再次研究上述问题。
问题1:已知9≥a & gt；b & gtC≥1，如何用A，B，C三个数组成一个一位数和一个二位数，从而使乘积最大化。
操作之后不难发现，只有两个组合成为了我们的重点。即a和c两位数的乘积和b和c与a两位数的乘积，为了探究这两个组合，哪个组合的乘积最大？可以逐步引入差分法来比较数字。
例如，因为5 & gt3，所以5-3 >；0，用字母表示:如果a & gtb，那么a-b & gt；0。反之，如果a-b >；0，那么a & gt乙.
由a和c组成的两位数可表示为10a+c，由b和c组成的两位数可表示为10b+c .所以，我们可以引导学生列出以下公式并进行计算:
(10b+c)×a-(10a+c)×b
=10ab+ac-10ab-bc
=ac-bc
=(a-b)c
& gt0
所以b和c两位数和a (10b+c)×a的乘积最大。即bc×a最大(bc代表两位数)。
问题2:已知9≥a & gt；b & gtc & gtD≥1，如何用A，B，C，D四个数组成两个两位数，使乘积最大化。
在前一题的基础上，应该有两种组合可以重点关注。公式为:(10a+c)×(10b+d)和(10a+d)×(10b+c)。可以指导学生计算:
(10a+d)×(10 b+c)-(10a+c)×(10 b+d)
= 100 ab+10ac+10bd+CD-100 ab-10ad-10bc-CD
=10a(直流)+10b(直流)
=10(c-d)(a-b)
& gt0
因此，产品最大的组合是:
(10a+d)×(10b+c)，即AD×BC(AD和BC都代表一个两位数)。
问题3:已知9≥a & gt；b & gtc & gtd & gte & gtF≥1，如何用A、B、C、D、E、F六个数组成两个三位数，使乘积最大化。
在第二个问题的基础上，应该有两个组合可以重点关注。公式为:(100 a+10d+f)×(10b+10c+e)和(100 a+10d+e)×(10b+)。可以指导学生计算:
(100 a+10d+f)×(100 b+10c+e)-(100 a+10d+e)×(100 b+10c+f)
= 10000 ab+1000 AC+100 AE+1000 BD+100 CD+10de+100 BF+10cf+ef-1000 ab-100 AC-100
=100a(英-法)+10d(英-法)+100b(法-英)+10c(法-英)
=100(甲-乙)(英+法)+10(丁-丙)(英)
=10(英-法)[10(甲-乙)+(丁-丙)]
& gt0
所以乘积的最大组合是:(100 a+10d+f)×(100 b+10c+e)，即ADF×bce(ADF和BCE都是三位数)。
第三，以此类推，建模思路达到顶峰。
为了表达方便，回想一下，我们用6，5，4，3，2和1来表示A，B，C，D，E，f。
用三个数组成一个一位数和一个两位数，当乘积最大化时，我们发现结果是:6×54；
用四个数组成两个两位数，乘积最大化，结果是:63×54；
当用五个数组成一个两位数和一个三位数使乘积最大时，结果是:63×542；
当六个数组成两个三位数，乘积最大化，结果是:631×542。
通过以上例子，可以引导孩子仔细观察，积极思考，找出规律:
1.依次使用从到大小的数字；
2.每增加一个新的数字，都要判断原来两个数字哪个大，哪个小。将新数加到原数中较小数的末尾，形成多一位的数。
其实这是一个解决这个问题的极简模式。从最大到最小相加，将新加的数一次加到较小数的末尾，即可解题。
也蕴含着深刻的人生哲理。要得到最大乘积，也就是得到最优解，在加数做选择时就要舍大取小。“循小”是为了最终的“最大”。仿佛每一次暂时的后退都是为了方便冲刺跨越前面的缺口。
那么如何验证这个模型的正确性呢？我们用A和B来表示原来的两个数，A大于B，现在加一个数n，在A或B的末尾加n可以让他们的乘积变大？
根据上面得到的模型，应该是B末尾加的积会更大。所以根据差分法，推论如下:
(10B+n)×A-(10A+n)×B
=10AB+An-10AB-Bn
=(A-B)×n
& gt0
通过用字母表示具体数字进行推理认证，结论更具有一般性和普适性。同时也说明我们通过具体分析逐步得出的解决问题的模型是正确的，具有推广的价值和意义。
如果学生有兴趣，我们的模式可以进一步推广。我们前面讨论的前提是十进制数。还可以将十进制扩展到十六进制，甚至n进制。如果是十六进制，我们需要16个字符，代表0到15。比如我们可以用这些字符，0123456789ABCDEF，其中A代表10，F代表15。当然，数字的位数不再叫一，十，百。应该是16？位，16？位，16？位，16？位，等等。同样，如果是n进制，那么我们需要n个字符，代表从0到n-1。右边的数字是n？Bit，n？Bit，n？Bit，n？少量...
同学们都知道，四边形是由四条首尾相连的线段围成的封闭图形。我们可以称之为中点四边形，取四边形四条边中每一条边的中点，依次连接四个中点，形成一个新的四边形。
探索四边形的中点四边形，一般从正方形开始。学生通过运算可以发现正方形的中点四边形仍然是正方形。只是方向偏了，面积是原来正方形面积的一半。
然后我们可以探索矩形的中点四边形。通过运算，我们可以发现矩形的中点四边形是一个菱形。与中点四边形内接的菱形是矩形。每个中点四边形是上四边形面积的一半。
与中点内接的平行四边形是新的平行四边形。而面积也是原来平行四边形的一半。新的平行四边形还是平行四边形，它的面积是上平行四边形的1/2，最上平行四边形的1/4。方向与最上面的平行四边形一致。
等腰梯形的内接中点四边形是菱形。普通梯形的内接中点四边形是平行四边形。
至此，我们可以发现，所有的四边形，无论是正方形、长方形、菱形、平行四边形还是梯形，都是平行四边形。当然，学生也知道正方形、长方形和菱形是特殊的平行四边形。正因为正方形、长方形、菱形是特殊的平行四边形，更有利于学生的观察和想象，更能理解从特殊到一般的逻辑推理思维和思维分析方式。
在学生确认平行四边形和梯形内接中点四边形一定是平行四边形的基础上，引导学生提问:普通四边形内接中点四边形是什么样的图形？通过动手操作和探索，可以进一步体验和探索新的发现。
通过作图实践和仔细观察可以发现，任何与中点内接的四边形都是平行四边形。那么如何让学生明白中点四边形一定是平行四边形呢？
这里介绍一下对三角形中位线的理解。取三角形两条边的中点，连接它们得到的线段称为三角形的中线。三角形的中线有什么性质？我们可以用两个相同的三角形加上一条中线，其中一个倒过来形成平行四边形。通过观察不难发现，两个拼接三角形的两条中线恰好在同一条直线上。并且平行并等于上下底边。所以从感觉上我们可以知道，三角形的中线平行于底部，等于底部的一半。
在确认三角形的中线平行且等于底边的一半后。回到中点内接于普通四边形的四边形图形，此时我们在原四边形上加一条对角线。然后隐藏下半部分，观察上半部分，可以发现上半部分三角形两边中点的连线其实就是三角形的中线。所以这条中线，它会平行于刚才加的原四边形的对角线，并且等于这条对角线的一半。同样，隐藏上半部分，只观察下半部分剩下的三角形。你也可以在下面找到一个三角形。三角形的中线也将等于对角线的一半，并与之平行。这样，如果你把顶部和底部放在一起，你很容易发现上中线和下中线是相互平行的，相等的。这两条中线是与原始四边形的中点内接的四边形的上侧和下侧。同样，与中点内接的四边形的左右两边平行且相等。所以我们可以确认中点四边形是平行四边形。
平行四边形、梯形和任意四边形，以及它们的内接四边形都是平行四边形。从这个角度来说，平行四边形是四边形的一种归属。这时，我们可以引导孩子进一步往下走。平行四边形、梯形和像这样的任意四边形称为凸四边形。
凸四边形是没有角大于180的四边形。如果四边形的任一边向两边延伸，其他边都在延伸直线的同一边。这个四边形叫做凸四边形。
与凸四边形中点内接的四边形是平行四边形，那么对应的凹四边形呢？
然后展示凹四边形，并让学生操作，找出四条边的中点，将四个中点连接起来，得到一个新的四边形。学生可以发现，在这个新的四边形中，有一边在原四边形之外。新的四边形似乎是平行四边形。那么它是平行四边形吗？答案是肯定的，那么如何引导孩子进行逻辑思考和证明呢？
我们可以观察并找到一个凹四边形，其中两条边都是凹的。正因为如此，在原来的四边形外侧露出了一条线。这时，我们引导幼儿将两条凹线段的两个侧端点连接起来。可以发现里面和外面嵌套了两个三角形。在内外嵌套的两个三角形中，它们的底是一样的，也就是刚刚连接起来的线段。而这两个三角形的中线是与中点内接的四边形的一组对边。基于对前一个三角形中线的了解。可以理解为，这组对边是平行的，相等的。
另外，如果把原四边形的另外两个顶点连接起来得到另一条对角线，也可以得出另一组对边平行相等的结论。
到目前为止，任何凸四边形和凹四边形的四边形都是平行四边形。
那么与中点四边形内接的任意四边形的面积是多少？
平行四边形内接中点的面积是原平行四边形面积的一半。证明很简单。你只需要把四个点连接起来，就可以得到八个小三角形，而其中，它们是彼此相等的。可以证明中点四边形的面积是原平行四边形的一半。
如何证明普通四边形的中点四边形的面积是原四边形的一半？
你可以连接一组对角线，使点的原始四边形。这样，原来的四边形就分成了两个三角形，中点四边形也分成了两个平行四边形。这时，我们可以探究一个三角形与其内部平行四边形的面积关系。可以通过观察和推理发现。平行四边形的底是三角形的中线，是三角形底的一半，平行四边形的高是三角形高的一半。根据平行四边形和三角形面积的公式，平行四边形是三角形面积的一半。另一方也是如此。最后可以得到中点四边形的面积是原四边形的一半。
凹四边形原理也是如此。与中点内接的四边形面积仍然是原四边形面积的一半。方法还是对角线，三角形和内置平行四边形的面积关系可以用中线的性质来证明。最后，中点四边形是原四边形面积的一半。
最耐人寻味的是，任何凸凹四边形的内接中点四边形都是平行四边形，面积是原四边形的一半。也许平行四边形是一个美丽的四边形。为什么会有这么强的团结和归属感？
事实上，在数学世界里，看似复杂的数学想象往往具有内在的统一性和归因性。这就要求学生具有强烈的探索精神、热切的探索兴趣、正确的探索方法、严谨的探索思维和震撼的生活体验，数学将成为最令人享受的知识。
几何图形面积的计算贯穿于小学学习阶段。几何知识内容的学习有助于学生空间想象能力的发展，有助于学生直觉想象能力的培养，有助于学生从特殊到一般的逻辑思维能力的培养。
几何图形面积学习从正方形面积开始。起初，我们知道面积的单位。当一个正方形的边长为一米时，我们说这个正方形的面积为1㎡。同理，知道一平方分米和一平方厘米。
然后通过测量学习正方形和长方形的面积公式，即一排小正方形有几个单位正方形，一个* * *有几排。通过相同加数的求和，可以利用对乘法运算的理解，得到乘法运算的公式。
在学生充分理解正方形和长方形面积计算的基础上。教科书中介绍了平行四边形面积的计算。平行四边形面积的理解是通过切割将其转化为矩形。然后用矩形面积计算公式，用长乘以宽来计算面积。在平行四边形图形的切割和变换过程中，学生充分体验到平行四边形原来的大小和面积没有变化。改变的只是它的形状。变成矩形后，矩形的宽度是原来平行四边形中的高度之一。还可以引导孩子在切割过程中直观地了解切口的长度。这是整个改造过程中的重点和难点。
当学生理解了变换的本质和平行四边形的高与矩形的宽的本质关系。平行四边形面积的计算将很容易被学生解决。
有了平行四边形面积计算的基础知识，三角形面积计算就容易多了。无非就是一分为二。这里没有讨论。
当学生对平行四边形面积的计算有了深刻的理解。梯形面积的计算摆在学生面前。
其实在学生学习平行四边形面积之前。教材充分强化了学生对平行四边形表示的理解。比如平行四边形用剪刀剪一次变成两个三角形，或者一个梯形和一个三角形，或者两个平行四边形，或者两个梯形等等。
在学习梯形面积的计算公式之前。您可以将此零件用作导入零件。特别是把一个平行四边形分成两个相同的梯形的理解和领悟。同时，平行四边形可以分成两个相同的三角形，作为思维引导的一部分。让孩子通过引导提示去发现。平行四边形可以分成两个相同的三角形。从而得到三角形面积的计算公式。那么有没有可能把两个一模一样的梯形组合成一个图形，这个图形就是我们学过的面积计算公式的已知图形？
通过提示和引导让学生操作。学生应该逐渐认识到，两个相同的梯形可以通过反转其中一个来形成平行四边形。所以得出结论，梯形的面积其实是平行四边形面积的一半。这个平行四边形只有底变成了上底和下底之和。我们可以得到梯形面积的公式，S=(上底+下底)×高度÷2。
关于梯形面积计算公式的理解。这时，梯形被一个物理图形所代替。比如一堆木头，底下9个，第二个7个，第三个5个，第四个3个。这个时候，木材需要多少根？怎么才能得到呢？从图形的外观来看，可以表示为3+5+7+9。
当我们引导孩子回到梯形面积计算的角度时。学生可以发挥想象力，借用一组相同的木桩组成一个梯形。因此可以得到木材根数的计算公式:S=(3+9)×4÷2。
然后将此公式与梯形面积公式进行比较，可以发现最低木的根数相当于底，顶木的根数相当于上底，木的层数相当于梯形的高度。换句话说，梯形面积的计算公式与梯形堆放木材数量的计算公式是一致的。
当然，我们学生可能会发现，用梯形面积计算公式直接相加计算并不简单。这时，老师可以引导学生认识到，当木桩的层数较多时，用公式计算就容易多了。
当学生理解了公式的价值，我们就可以引导他们抽象数学，抛开图形和物体的基础。直接呈现:1+3+5+7+9+...+99
当然，学生可以借助梯形图形模型进行想象。逐步得出计算公式:S=(1+99)×50÷2。这里，对公式中50的理解是最重要也是最难的。在梯形中，是梯形的高度。它是一堆木头的层数。这时应该是加数的个数，也就是项数。
最后，学生可以理解，像1，3，5，7...99、每相邻两项之差为一个等差数，称为等差数列。求所有数的和就是求等差数列的和。即:S=(第一项+最后一项)×项数÷2。
靠智力夺取王位是一款益智游戏。一排木槽里有十一面旗子，最后一面是红色的。游戏规则是:两个人轮流每次服用1 ~ 2片。谁能拿下最后的红旗“宝座”，谁就赢了。
乍一看，好像和运气有关。事实上，它包含着奥秘和可遵循的规则。不妨引导学生由少到多，循序渐进，探索其中蕴含的规律。
首先，引导学生明白这个游戏的游戏规则是:1。两个人轮流；2.每次服用1 ~ 2粒；3.拿最后一个赢。
其次，带领学生进入游戏，探究其中的内幕。
不难发现，当有一两块的时候，先拿的人一定会赢。当棋子数为三个时，最后一个玩家获胜。其中有两种策略:一是第一个赢家拿一个，第二个赢家拿两个就赢，即1+2型；第二种，第一个赢家拿两个，最后一个赢家拿一个就赢，也就是键入2+1。
这时，让学生反复操作和体验:一个或两个，第一个会赢；三，后者会赢。
随后，从少到多，添加了额外的标志。当有四面旗帜时，哪一面获胜，第一面还是最后一面？让学生练习操作，在操作中体验并得出结论:第一个获胜者拿一个，然后还剩三个。此时，最后一名获胜者是本次比赛的第一名获胜者。同理，当有五块时，可以得出第一块拿了两块，然后还剩三块。这时后一个，也就是这次比赛的第一个，就赢了。这两种策略的区别在于，第一种需要一个或两个。目的是一样的，还剩下三个。
实验结束后，当有六块时。让学生通过操作实验反复认识到后者必胜。也有两种策略:一是第一个赢家拿一个，第二个赢家拿两个，剩下三个，重复三的策略就赢了；第二，第一个赢家拿两个的时候，最后一个赢家拿一个，剩下三个。重复三的策略，你就赢了。
以此类推，让学生猜猜当有七个、八个、九个棋子时，是第一个玩家赢还是最后一个玩家赢，然后验证感受。
最后，让学生体验一、二、三、四、五、六、七、八、九旗，情况是一样的，但情况是再现或重复的。
其实这个游戏的核心就是三旗的时候拿孩子的策略。也就是这个游戏有一个本质的极简模式——能被3整除。当除数为3时，所有非零自然数分为余数1数、余数2数和整除数。要想赢，一定要尽量取1的余数，千万不要取整除数，2的余数就是调整数。
这样，无论是有11的棋子还是追加的棋子，在一方不知道内情的情况下，知道内情的一方一定会伺机取胜。
游戏规则是人定的。一旦改变了游戏规则，就需要重新探索游戏策略。如果规定一次可以拿一个，两个，三个，怎么赢？
这时，可以引导学生采用同样的探究方法和策略进行探究。
当旗帜数量为1-3时，第一个获胜，当有四块时，最后一个获胜。策略有:1+3，2+2，3+1。当有五个棋子时，第一个赢。策略有:1+1+3，1+2+2，1+3+1。实际上，第一个获胜者先拿一面旗，当它被转换成四面旗时，最后一个获胜者(即本次比赛的第一个获胜者)将获胜。
同样，当有六个棋子时，第一个赢，策略为:2+1+3，2+2+2，2+3+1。实际上，第一个获胜者先拿两个旗子，然后当它变成四个旗子时，最后一个获胜者(也就是这次比赛的第一个获胜者)就赢了。
当玩到七个棋子时，第一个玩家获胜。策略有:3+1+3，3+2+2，3+3+1。其实第一名先拿三面旗，当改成四面旗时，最后一名(即本次比赛第一名)获胜。
当有八块时，最后一块获胜，策略是按照四块的策略使用两次。
和上一个游戏类似，这个游戏的核心是有四面旗的时候拿孩子的策略。也就是这个游戏有一个本质的极简模式——能被4整除。当除数为4时，所有非零自然数被分为余数1数、余数2数、余数3数和整除数。要想赢，一定要尽量取1的余数，千万不要取整除数，2和3的余数是调整数。
当学生有了透彻的理解，游戏规则才能进一步改变。通过实验、分析和推理，可以得到更广泛、更普遍的模型。
游戏规则是:两个人轮流每次服用1~n片。谁能拿下最后的红旗“宝座”，谁就赢了。
制胜策略:这款游戏的极简模式——可被n+1整除。当除数为n+1时，所有非零自然数被分成余数1、余数2、余数3...余数n和可除数。要想赢，一定要尽量取余数1，千万不要取整除的数。余数2，余数3...余数n是调整数。