如何在小学讲授集合的概念

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形态。在数学中，把客观事物的颜色、材质、气味等属性视为非本质属性而丢弃，只保留其* * *在形状、大小、位置、数量关系上相同的属性。在数学科学中，数学概念的含义要精确定义，所以数学概念比一般概念更精确。

小学数学的概念很多，包括:数的概念、运算的概念、量和度量的概念、几何形状的概念、比和比例的概念、方程的概念、初步统计知识的相关概念。这些概念是小学数学基础知识的重要内容，它们是相互联系的。只有清晰牢固地掌握了数的概念，才能理解运算的概念，掌握运算的概念才能促进数的整除概念的形成。

二，小学数学概念的表达

小学数学教材中的概念根据小学生的接受程度有不同的表达形式，其中描述性表达和定义性表达是最重要的两种。

1.定义公式

定义是用简洁完整的语言揭示一个概念的内涵或外延的方法。具体方法是用原有概念解释待定义的新概念。这些定义的概念抓住了一类事物的本质特征，揭示了一类事物的本质属性。这样一个概念，在对大量探究材料的分析、综合、比较、归类中，使之从直观到表象，再上升到理性认识。比如“两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“一个含有未知数的方程叫做方程”等等。这样定义的概念、条件和结论非常明显，便于学生一下子掌握数学概念的本质。

2.描述性表达

用一些生动具体的语言描述概念，叫做描述性。这种方法不同于定义，描述性概念一般是借助学生通过感知建立的表象，选择有代表性的特例作为参照对象来建立的。比如:“我们数物体的时候，1，2，3，4，5...用来表示对象的数量称为自然数”；“像1.25，0.726，0.005都是小数”等等。这个概念会随着孩子知识的增加和理解的加深而提高，在小学数学课本中一般用于以下两种情况。

一种是描述数学中的点、线、体、集等原始概念。比如课本上对“直线”的概念是这样描述的:取一条直线，拉紧，就成了直线。“平面”用“班级桌面”、“黑板面”、“湖面”来解释。

另一种是对于一些难以理解的概念，如果小学生用简洁笼统的定义难以理解，就会用描述性的表述来代替。比如对直圆柱体和直圆锥体的理解，不能像中学生那样用旋转体来定义，是因为小学生还缺乏运动的观点，只能通过实物形象地描述其特征，而不能以定义的形式揭示其本质属性。在观察和拼写的过程中，学生认识到圆柱体的特点是上下底面为等圆，侧面的形状为长方形。

一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念描述性比较强。随着小学生思维能力的逐渐发展，定义在中年级逐渐被采用，但有些定义只是初步的，还有待发展。在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性和学生思维的形象化之间的矛盾，大部分概念都没有严格定义；而是从学生所知道的实际案例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观具体的形象帮助学生理解概念的本质属性。对于不易理解的概念，暂不给出定义或采取分阶段逐步渗透的方法解决。因此，小学数学概念呈现出两个特点:一是数学概念的直观性；二是数学概念阶段。在讲授数学概念时，我们必须注意充分理解教材的这两个特点。

三，小学数学概念教学的意义

首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部分。

小学数学基础知识包括:概念、定律、性质、规律、公式等。其中，数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，也是学习其他数学知识的基础。学生掌握基础知识的过程，其实就是掌握概念并运用概念进行判断和推理的过程。数学中的定律是基于一系列的概念。事实证明，如果学生有正确、清晰、完整的数学概念，将有助于他们掌握基础知识，提高操作和解题能力。相反，如果学生概念不清，就无法掌握规律、规律和公式。比如，整数100以内的笔式加法的规则是:“相同的数字对齐，从一位数开始，当每一位数都满十时，它将输入一进十位数。”为了使学生理解和掌握这一规律，必须事先了解“位数”、“单位”、“十位数”、“一位数满十”的含义。如果他们没有把这些概念理解清楚，就学不会这个规律。再比如，圆面积S=πr2的公式应该是基于圆、半径、平方、圆周率的概念。总之，小学数学中的一些概念是以后学习的基础和基础知识。小学数学是一门概念性很强的学科，也就是说，任何一部分内容的教学都离不开概念教学。

其次，数学概念是发展思维、培养数学能力的基础。

概念是思维形式之一，是判断和推理的起点，因此概念教学在培养学生思维能力方面可以发挥重要作用。没有正确的概念，就不可能有正确的判断和推理，更谈不上逻辑思维能力的培养。比如“有一个未知数的方程叫做方程”，这是一个判断。在这种判断中，学生必须非常清楚“未知”和“方程”的概念，才能形成这种判断，从而推断出以下六个问题，哪些是方程。

(1)56+23 = 79(2)23-x = 67(3)x÷5 = 4.5

(4)44×2 = 88(5)75÷x = 4(6)9+x = 123

在概念教学过程中，为了使学生顺利获得相关概念，往往需要给学生提供丰富的感性材料进行观察。在观察的基础上，通过教师的启发和引导，对感性材料进行比较、分析和综合，最终抽象出概念的本质属性。通过一系列的判断和推理，概念得到巩固和应用。从而逐步提高学生的初始逻辑思维能力。

6.1.3数学概念教学的一般要求

1.让学生准确理解概念

理解一个概念，一要能举出概念所反映的现实原型，二要明确概念的内涵和外延，即明确概念所反映的一类事物和概念所反映的一切对象的* * *相同的本质属性，三要掌握代表概念的文字或符号。

2.使学生牢牢掌握概念。

掌握概念就是在理解概念的基础上记忆概念，正确区分概念的正例与反例。能对概念进行分类，形成一定的概念体系。

3.使学生能够正确使用概念。

概念的应用主要表现在，学生能够在不同的具体情境中识别概念的本质属性，并利用概念的相关属性进行判断和推理。

第四，小学数学概念教学的过程和方法

根据数学概念学习的心理过程和特点，数学概念的教学一般分为三个阶段:①引入概念，使学生感知概念，形成表征；②通过分析、抽象、概括，让学生理解和明确概念；③通过例题和习题使学生巩固和应用概念。

(一)数学概念的引入

数学概念的引入是数学概念教学中第一个也是非常重要的环节。如果概念引入得当，可以紧紧围绕主题，充分激发学生的兴趣和学习动机，为学生顺利掌握概念打下基础。

引入新概念的过程是揭示概念的发生和形成过程，每个数学概念的发生和形成过程不尽相同，有的是现实模型的直接反映；有的是在现有概念的基础上经过一次或多次抽象后得到的；有的来自数学理论发展的需要；有的是为解决实际问题而产生的；有的把思考的对象理想化，通过推理得到；另一些是从理论存在或数学对象的结构中产生的。所以在教学中一定要根据各种概念的背景和学生的具体情况，选择不同的方式引入概念。一般来说，数学概念的引入可以采用以下方法。

1.引入基于感性材料的新概念。

利用学生日常生活中接触到的事物或课本中的实际问题，以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳、概括来获取概念。

比如学习“平行线”的概念，学生可以识别一些熟悉的例子，如铁轨、门框的上下边缘、黑板的上下边缘等。，然后对每个例子的属性进行辨析，找出* * * *的本质属性。铁轨有性质:是铁做的，可以看成两条直线，在一个平面上，两边可以无限延伸，永不相交。还可以分析门框和黑板的上下两面的属性。通过对比可以发现，它们的* * *相同属性是:可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面上；它们之间的距离在任何地方都是相等的；两条直线之间没有共同点。最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。

以感性材料为基础的新概念的引入，是以概念形成的方式来教的。因此，在教学中，要选择那些能充分展现所介绍概念特点的案例，正确引导学生观察分析。只有这样，学生才能从案例中总结和概括* * *的本质属性，形成概念。

2.用新旧概念的关系引入新概念。

如果新旧概念之间存在某种关系，比如兼容和不兼容，那么新概念的引入就可以充分利用这种关系。

比如学习乘法的意义时，可以从加法的意义引入。再比如，学习“整除”概念时，可以从“除”引入。再比如，学习“质因数”，可以从“因数”和“质数”的概念引入。再比如，在学习质数和合数的概念时，可以引入除数的概念:“请写出数字1，2，6，7，8，12，11，15的所有除数。他们有几个约数？能否给出一个分类标准对这些数字进行分类？你能找到多种分类方法吗？在你找到的所有分类方法中，哪一种是最新的？”

3.以“问题”的形式引入新概念。

以“问题”的形式引入新概念也是概念教学中常用的方法。一般来说，用“问题”引入概念有两种方式:①从现实生活问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展引入概念。

4.从概念发生的过程引入新概念。

数学中的一些概念是由发生来定义的。在这类概念的教学中，可以利用演示活动的直观教具或演示绘图的方法来揭示事物的发生过程。比如小数、分数等概念就可以这样引入。这种方法形象直观，体现了运动变化的观点和思想。同时，介绍过程自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在。

(二)数学概念的形成

引入概念只是概念教学的第一步。要使学生获得概念，还必须引导学生准确理解概念，明确概念的内涵和外延，正确表达概念的本质属性。因此，在教学中可以采用一些有针对性的方法。

1，比较类比。

通过比较概念，可以找出概念之间的不同，通过类比，可以找出概念之间的相同或相似之处。比如在学习除法概念的时候，我们可以把它和除法的概念进行对比，找到两者的区别。用比较或类比的方法讲一个新概念，一定要突出新旧概念的区别，明确新概念的内涵，防止旧概念对学习新概念产生负迁移作用。

2.恰当使用反例。

在概念教学中，除了从正面揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例突出概念的本质属性，特别是通过比较正例与反例的区别，让学生反思自己的错误，更有利于加强学生对概念本质属性的理解。

利用反例突出概念的本质属性，其实质是让学生明确概念的外延，加深对概念内涵的理解。任何具有一个概念所反映的本质属性的对象，必然属于该概念的可拓集合，而反例的构造就是让学生找出不属于该概念可拓集合的对象。显然，这是概念教学中的一个重要手段。但必须注意的是，选择的反例要适当，防止学生太难，太偏，分散注意力，不能突出概念的本质属性。

3.合理使用变体。

依靠感性材料理解概念，往往因为提供的感性材料片面、有限，或者感性材料的非本质属性具有明显的突出特征，容易形成干扰信息，从而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中要注意运用变式，从不同的角度和方面反映和描述概念的本质属性。一般来说，异体字包括图形异体字、公式异体字和字母异体字。

比如在讲授“等腰三角形”的概念时，教师除了常用图形外，还要用变体图形来强化这个概念，因为在利用等腰三角形的性质解题时，遇到的图形往往是后一种情况。

(三)数学概念的巩固

为了让学生牢牢掌握所学的概念，还必须有一个概念巩固和应用的过程。教学中应注意以下几个方面。

1，注意及时复习

概念的巩固是在对概念的理解和运用中完成和实现的，同时也要及时复习。巩固不能脱离必要的审查。复习的方式可以是重复个别概念，通过解题来复习概念，更多的是在概念体系中复习概念。当概念教学进行到一定阶段，特别是在章节复习、期末复习、毕业复习结束时，要注意对所学概念进行整理和系统化，找出概念之间的纵向和横向关系，形成概念体系。

2.注重应用

在概念教学中，不仅要引导学生从具体到抽象形成概念，还要让他们从抽象到具体运用概念。学生对一个概念的掌握是否牢固，不仅取决于能否说出这个概念的名称，能否背诵这个概念的定义，还取决于能否正确、灵活地运用这个概念。通过应用，他们可以加深理解，增强记忆，提高数学应用意识。

概念的应用可以从概念的内涵和外延来进行。

(1)概念的应用

①复述概念的定义或根据定义填空。

(2)根据定义判断对错或纠正错误。

③根据定义推理。

④根据定义计算。

例4(1)什么是质数？这是一个质数。

(2)对或错:

27和20是质数()

34和85是质数()

两个有公约数1的数是质数()

两个合数不能是质数()

(3)钝角三角形的一个角是82o，另外两个角的度数都是质数。这两个角可以有多少度？

(4)如果p是素数，那么所有小于p的自然数都与p互质..这句话对吗？请说明原因？

2.概念延伸的应用

(1)示例

(2)识别正面例子或反面例子。并说明原因。

(3)根据指定的条件从概念的外延中选取案例。

(4)根据不同的标准对概念进行分类。

例5(1)列出你见过的圆柱形物体。

(2)下图中哪些阴影部分是扇形的？(图6-2)

(3)分母为9的最简单的真分数有一个分子为9的假分数，最小的是

(4)自然数2-19按照不同的标准分为两类(至少提出了三种不同的分类方法)。

概念的应用可分为简单应用和综合应用。一个新概念初步形成后，简单的应用可以促进对新概念的理解。综合应用一般是在学习了一系列概念后，将这些概念结合起来，可以培养学生的综合应用能力。

第五，小学数学概念教学中应注意的问题

1.把握概念教学的目标，处理好概念教学发展与阶段的矛盾。

概念本身有其严格的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定的，这就是概念的确定性。由于客观事物的不断发展变化和人们认识的不断深入，反映客观事物本质属性的概念也在不断发展变化。而小学阶段的概念教学往往是分阶段进行的，考虑到小学生的接受能力。比如“数”的概念，在不同的阶段有不同的要求。一开始我只知道1，2，3，...，然后我渐渐知道了零。随着学生年龄的增长，我引入了分数(小数)，然后逐渐引入了正数和负数，有理数和无理数，将数扩展到实数和复数的范围。再比如对“0”的理解。一开始我们只知道它表示没有，后来我们知道它可以表示数位上没有单位，我们也知道“0”可以表示边界。

因此，数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成为教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的关键是把握概念教学的阶段性目标。

为了加强概念教学，教师必须认真研读教材，掌握小学数学概念的体系，弄清概念发展的脉络。概念是一步步发展的，它们是相互联系的。不同的概念有不同的具体要求，即使同一个概念在不同的学习阶段也有不同的要求。

很多概念的含义都是逐渐发展起来的，一般都是通过描述给出，然后定义。比如对分数含义理解的三次飞跃。第一次，在学习小数之前，让学生初步了解分数。"如上所述，，，，，等等都是分数."通过大量感性直观的了解，结合具体的事物来描述什么是分数，初步理解分数是一个平均分，明白谁是谁的分数。第二次飞跃是从具体到抽象，将单位“1”平均分成几份，表示其中一份或多份可以用分数表示。从具体事物中抽象出来。然后总结了分数的定义，只是描述性地给出了分数的概念。这是感性的飞跃。第三次飞跃是对单位“1”的理解和拓展。单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以表示一个组等。最后抽象出谁划分谁就是单位“1”，这样单位“1”和“1”这三个层次就不可能一蹴而就。要展示知识的发展过程，引导学生在知识发展过程中理解分数。

再比如对长方体和正方体的理解，很多教材都是分两个阶段。到了低年级，对长方体、正方体的初步认识首先出现，学生可以观察一些实物和实物图，比如装墨水瓶的纸箱、魔方等。积累一些关于长方体和正方体的感性知识，知道它们是什么形状，知道这些形状的名称。然后通过操作和观察，可以知道一个长方体和一个正方体有多少个面，每个面是什么形状，从而进一步加深我们对长方体和正方体的感性认识。然后从物体中抽象出长方体和正方体的图形(不是透视图)。但是，在这个教学阶段，要求学生知道长方体和正方体的名称，并能够识别和区分这些形状。仅仅停留在感性认识的层面。第二阶段是在高年级。教学还是要从实例引入。在讲授长方体知识时，让学生先收集长方体的实物。老师先解释什么是长方体的面、棱、顶点。让学生分别统计面、边和顶点的数量，测量边的长度，计算每个面的大小，比较上下、左右、前后边和面的关系和区别。然后总结了长方体的特征。然后从长方体的实例中抽象出长方体的几何图形。然后，学生可以通过与实物的对比来观察图形，在不改变观察方向的情况下，找出自己最多能看到多少个面和边。什么是看不见的，如何在画面中表现出来。学生也可以想一想，看一看，逐渐理解一个长方体的几何形状，形成正确的表示法。

在把握阶段性目标时，要注意以下几点:

(1)在每个教学阶段，概念都要明确，以免造成概念混乱。有些概念没有严格定义，但要根据学生的接受能力，或者用描述代替定义，或者用通俗易懂的语言揭示概念的本质特征。同时，以后注意严格定义。

(2)当一个教学阶段完成时，应指出概念是根据具体情况发展变化的。比如，一个学生知道了长方体后，认为课本上的任何一张纸也是长方体。说明学生对长方体的概念有了进一步的理解，老师应该予以肯定。

(3)概念发展时，教师不仅要指出原始概念与发展概念的联系和区别，使学生掌握，还要引导学生学习相关概念，注意其发展变化。比如“倍数”这个概念，在整数范围内，通常是指如果把A的量看成1，B的量有这么几个，那么B的量就是A的几倍，引入分数后，发展出了“倍”的概念，发展出的“倍”的概念包括了原来的“倍”的概念。如果把A的量看作L，B的量也可以是A的量的一个分数..

因此，在数学概念的教学中，要明确概念的顺序，了解概念之间的内在联系。随着客观事物本身的发展变化和研究的深入，数学概念也在不断发展演变。学生对数学概念的理解也需要随着数学学习的提高而逐步加深。教学时，既要注意教学的阶段，又要把后面的要求提到前面，超出了学生的认知能力；还要注意教学的连续性，给前面概念的教学留有余地，为后面的教学埋下伏笔。从而处理好掌握概念的阶段性和连续性的关系。

2.加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾。

虽然教材中的大部分概念都没有严格的定义，但都是基于学生所知道的实际案例或已有的知识经验，尽可能通过直观具体的形象帮助学生理解概念的本质属性。对于不易理解的概念，暂不给出定义或采取分阶段逐步渗透的方法解决。但是对于小学生来说，数学概念是抽象的。他们在形成数学概念时，一般都需要有相应的感性经验作为基础，要经历一些时间把感性材料在头脑中来来回回，从模糊到逐渐清晰，从众多的相关材料中，通过自己的运算和思维活动，逐渐建立起事物的大致面貌，分离出事物的主要本质特征或属性，这是形成概念的基础。因此，在教学中，必须加强直觉，解决数学概念的抽象性与学生思维的形象性之间的矛盾。

(1)通过演示和运算，转化具体和抽象。

在教学中，要尽可能地将一些相对抽象的内容通过适当的演示或操作转化为具体的内容，进而抽象出概念的本质属性。

几何的基础知识，无论是线、面、体的概念，还是图形的特征、性质的概念，都很抽象。因此，在教学中要加强演示和操作，让学生通过测、摸、荡、拼来理解这些概念，从而抽象出来。

比如“圆周率”这个概念就很抽象。有些老师在课前安排每个学生做一个半径自定的圆。上课时，让每个学生在课堂练习本上写三个内容:(1)写出自己做的圆的直径；(2)自己滚圈，测量一周滚圈的长度，写在练习本上；(3)计算圆的周长是直径的几倍。下课后，要求每个学生报告自己的计算结果。

然后引导学生分析，发现无论一个圆的大小，它的周长总是比直径的三倍多一点。这时就透露出这个倍数是一个固定的数，数学上叫圆周率。然后让学生随意画一个圆，测量直径和周长来验证。这样就引导学生对大量感性材料进行分析、综合、抽象和概括，摒弃事物的非本质属性(如圆的大小、计量所用的单位等。)，抓住事物的本质特征(圆周总是直径的三倍多一点)，形成概念。

这样，教师借助直观教学，利用学生原有的基础知识，逐渐抽象，联系紧密，层次清晰。通过物理演示，学生可以建立表象，从而解决数学知识的抽象性和儿童思维的形象化之间的矛盾。

(2)结合学生生活实际，进行具体和抽象的转化。

教学中的许多数量关系是从具体的生活内容中抽象出来的。因此，在教学中要充分利用学生的生活实际，采用适当的方法进行具体和抽象的转化，即将抽象的内容转化为学生具体的生活知识，再将学生的生活知识抽象为教学内容。

比如在乘法和换元法的教学中，经常要求学生先回答这样的习题:一支每盒10支的钢笔，每支3元，买两盒钢笔要多少钱？学生发现有两种方法可以解决这个问题。一个办法是先搞清楚“每盒多少钱”，再搞清楚“两盒多少钱”。公式为(3× 10 )× 2 = 60元；另一种是先搞清楚“一个* * *”有多少支笔，再搞清楚“2盒多少钱”。公式为3× (2× 10) = 60元。乘法分配律的教学也让学生回答类似的问题，比如:一件外套，50元，一条裤子，30元。像这样买五套衣服要多少钱？这样，借助学生熟悉的生活场景，抽象的问题变得具体。

同一共同数量关系中的单价、总价和数量之间的关系；距离、速度、时间的关系，工作量、工作效率、工作时间的关系，要结合学生的生活经验，通过具体的题目抽象出来，然后用这些关系来分析问题，解决问题。这种训练有利于学生思维逐渐过渡到抽象思维，逐步缓解知识的抽象性与学生思维的具体形象性之间的矛盾。

但是，利用直觉不是目的，它只是唤起学生积极思考的一种手段。所以概念教学不能只停留在感性认识上。学生获得丰富的感性知识后，要对观察到的事物进行抽象和总结，揭示概念的本质属性，使知识飞跃，从感性上升到理性，形成概念。

3.遵循小学生学习观念的特点，组织合理有序的教学过程。

虽然小学生获取概念有概念形成和概念同化两种基本形式，而且各种概念的形成各有特点，但无论如何获取概念，一般都遵循“引入、理解、巩固、深化”的概念形成路径。以下是对概念教学各个环节的教学策略和应注意的问题的描述。

(1)概念的引入要注意提供丰富典型的感性材料。

在概念引入的过程中，要注意让学生建立清晰的表征。因为建立能够凸显事物本质的清晰典型表征是概念形成的重要基础，所以在小学数学的概念教学中，无论如何引入概念，都要考虑如何让小学生在头脑中建立清晰的表征。在概念教学之初，应根据教学内容，以直观的手段为学生提供丰富、典型的感性材料，如实物、模型、挂图或演示等，引导学生观察，结合实验让学生自己操作，让学生接触相关物体，丰富感性认识。

例如，在一堂关于教学分数意义的课上，一位老师为了突破单元“L”的教学难点，提前给学生提供了各种操作材料:一根绳子、四个苹果、六只熊猫、一张长方形的纸、一条长L米的线段等。通过比较得出结论，一个物体、一个计量单位、一个整体都可以使用单位“1”。