苏教版小学数学教材中概率的编排特点
一、从知识到教材:简单来说。
1.掌握知识
在小学数学教学中，教师要想思路清晰、目标明确地掌握这部分教材，就必须完整地学习概率知识，理清逻辑顺序，梳理知识结构，理解基本概念。老师们不妨参考江苏教育出版社出版的高中标准实验教材《数学三(必修)》第七章。本文摘录部分内容并参考相关资料，整理为以下两部分:
表1:随机事件的相关概念
概述
压力
决定性现象
在一定条件下必须发生或不能发生的现象。
随机现象
在现实世界中，给定的条件下，重复同样的实验，有些现象有时会发生，有时不会发生。它有两个特点:①在一次实验和观察中，这种现象的发生是不确定的、无规律的、不可预测的；②在大量的实验和反复的观察中，总体来说，这种现象的发生呈现出一种非偶然的规律性，即具有统计规律性。这些现象被称为随机现象。
事件
事件是指在一定条件下的某种结果。结果与某些条件相对应。在一组基本条件下，事件根据结果发生与否可分为三类:不可避免的事件称为必然事件；结果不可能的事情叫做不可能的事件；结果可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件。
随机事件
随机事件有两个特点:①可以在相同的条件下重复进行大量的实验或观察；②每一次实验或观察的结果不一定相同，无法预测下一次实验或观察会是什么。
随机实验
随机试验具有以下特点:①在相同条件下可重复；②测试的结果可能不止一种，但所有的结果都可以事先明确；③每次测试前，无法预测会出现哪种结果。
表2:随机事件概率的相关概念
概述
压力
频率
对于事件A，如果事件A在n次试验中发生的次数为m，则m称为事件A在这n次试验中的频率。
频率F0(A)
F0(A)= n个实验室中事件A的频率。
频率稳定度
在大量的实验中，事件A的频率总是随着实验次数的增加而在一个恒定值附近摆动。这种规律性叫做频率稳定度，这个恒定值就是概率。
概率P(A)
能代表随机事件发生概率的数称为随机事件概率4，记为户(A)。不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，随机事件的概率是0到1之间的某个数。在经典概率模型中，当实验有n个结果，且每个结果的可能性相反时，如果事件有m个可能的结果，那么概率F(A)=。
从上面可以看出:
(1)客观世界中存在着大量的必然和随机现象。人们在实践中经常会遇到各种随机现象，所以我们需要从大量的偶然性中找出规律性和必然性。概率的研究对象是分析随机现象的可能结果，研究事故中所包含的规律性和必然性。
(2)概率的描述性统计定义可以理解为:在一组不变的条件S下，重复n次实验，m是事件A在n次实验中发生的次数。当实验次数n较大时，如果频率稳定在某个值p，则p值称为随机事件A在条件集A下发生的概率，记为p (a) = p..
(3)“统计与概率”的内容是一种“不确定数学”，与传统的“确定性数学”有很大区别。概率知识研究的基础主要是定义和假设。
2.掌握教材
通过比较这些概念的定义，仔细推敲，可以把握小学数学教材中概率知识教学的本质。下面是苏教版教材的一个例子。
(1)了解教材的编排特点。单从知识的角度来说，在小学教书的概率并不大。因此，根据课程标准的要求和学生的认知水平，教材分四次安排了第一、二期的教学可能性知识。
高二上学期:《可能》。通过使用“碰球”、“转盘”等游戏活动，我们初步体会到有些事件是确定的，有些是不确定的。能描述一些简单事件的可能性，与同行交流。
初三上学期:《统计与可能性》。通过摸球实验，我们知道一个事件发生的可能性有大有小。
四年级上学期:“游戏规则的公平性”。体验事件的平等可能性和游戏规则的公平性。
六年级上学期:《可能》。会用分数来表示一些简单事件的可能性；能够设计出符合规定事件概率要求的游戏方案；预测简单事件的可能性，并说明你的理由。
(2)了解教学内容的重点和难点。二年级上学期的教学内容是“可能性”，教学重点是在相同的实验条件下体验确定性和不确定性。教学难点是用恰当的语言正确描述一些简单事件的可能性。初三上学期的教学内容是《统计与可能性》，教学重点是在碰球测试中认识一个事件的可能性；教学中的难点是通过观察和分析触球的次数(频率)来推断可能性相等和可能性大的结论。四年级上学期的教学内容是“游戏规则的公平性”，教学重点是体验游戏规则的公平性。教学难点是通过均等的可能性让学生理解公平，强调游戏中输赢的可能性是均等的，游戏的结果是不可预测的，有赢有输。六年级上学期的教学内容是“可能性”，教学重点和难点是联系分数的意义，理解和学习用分数表示事件可能性的基本思想和方法，即理解和学习用分数表示事件的概率。
二、从问题到分析:追根溯源找原因
1.问题陈述
在平时的听课和教研活动中，我发现小学数学“统计与概率”的教学存在以下问题:
高二上学期《可能性》教学中存在的问题有:(1)碰球试验前，试验要求不明确，不强调“试验条件相同”(如搅拌均匀，随意碰一个，碰完放回去)；(2)教师错误地将汉语造句练习视为教学中的一种不确定现象。例如，让学生用“必须”、“可能”、“不可能”填空:我姐姐(必须)比我哥哥大，小明(可能)比小刚大。
初三上学期《统计与可能性》教学中存在的问题有:(1)试图用有限的触摸次数直观地得出可能性相等或可能性大的结论；(2)接触次数越多，接触XX球越近，可能性相等的结论。
四年级上学期“游戏规则的公平性”教学中存在的问题是:(1)用“猜-验证”的方法证明游戏规则公平或不公平；(2)用游戏结果来说明游戏规则是否公平。
六年级上学期教学《可能》中的问题有:(1)教师对频率、频率、频率稳定性、概率等概念理解不清；(2)抛硬币测试“正面朝上”和“反面朝上”的次数相等，则可能性为；(3)过于强调计算，忽略了概率的基本思想；(4)有问题的练习:比如①一个篮球运动员随意投篮，命中的可能性为；②将一枚硬币随意抛40次，有多少次可能是正面朝上？头可以抬起多少次？
2.原因分析
造成以上问题的主要原因是老师没有很好的理解简单的概率知识。下面笔者结合上面列举的简单概率知识点来分析以上问题。
高二上学期，“可能性”的教学重点是让学生在随机实验(摸球)中经历必然事件和随机事件。随机实验的前提必须是在给定的条件下，也就是在一组不变的条件S下，重复实验n次，才能正确体验随机事件a的发生，所以在摸球之前，老师必须明确两点:(1)球除了颜色(包括大小、质量、手感等)都是一样的。);(2)触球前先搅拌，搅拌均匀(搅拌均匀是研究随机事件，保证触球测试公平性的前提)，然后随意触一个球。触球后，教师要指导学生结合操作，正确应用“可能”、“不可能”、“一定”等词语来描述触球的结果。教师还要注意明确数学学习的内容和研究对象，不要把语文实践中“可能”、“一定”等词语的使用与数学研究中的不确定现象混为一谈。比如让学生用“一定”、“可能”、“不可能”填空:姐姐(肯定)比弟弟大，小明(可能)比小刚大。小明和小刚的年龄是客观数据，但因为我们不知道他们的年龄，所以可以在句子中用“可能”这个词填空。不能因为一个句子中出现了“一定”、“可能”、“不可能”等词语，就认为这个句子属于数学“可能性”的研究范畴。因此，教师应该正确理解教学内容。在实际教学中，他们不应该设计这样的问题和学生的“思维”，而应该根据学生的实际水平来设计可以判断的不确定的或随机的现象，比如“随意找两个自然数，它们的和可能是偶数，也可能是单数”。
第三学期的“碰球”，第四学期的“游戏规则的公平性”，第六学期的“抛硬币”等教学内容都涉及随机实验。对于这些随机实验的条件和结果，教师要注意根据学生的认知水平和教学需要进行引导和解释。但在实际教学中，由于缺乏知识准备和对随机实验的深入体验和深刻理解，一些老师往往下意识地对测试结果抱有一些错误的希望，比如“摸XX球，摸够次数XX球和XX球就相等”、“摸够次数XX球和XX球就小”、“摸的次数越多，XX球和XX球的差别就越小”、“公平”。有些老师试图用概率的统计意义(即用频率估计概率的方法)来引导学生通过“猜-验证”来理解可能性，或者证明设计的游戏规则是否公平。这是不合适的。
因此，当课堂上有限次数的实验结果不符合老师们的虚假希望——比如学生发现触摸XX球和XX球的次数相差很大，或者游戏的实际结果有时远高于平均次数，有时输和赢的次数并不接近——老师们无法做出正确的解释，无法从实验结果中证明游戏规则的公平性，于是选择忽略课堂测试数据。出示大量课前准备的反复实验后的数据，匆忙得出结论:摸球次数越多(抛硬币)，摸红球和黄球越近(正面和反面)。
根据定义，一个随机事件的发生既有随机性(针对单个实验)，又有统计规律性(针对大量重复实验)，是偶然性和必然性的统一。随机事件的统计规律如下:随机事件的频率，即该事件发生的次数(频率)与总实验次数的比值，是稳定的，总是围绕一个常数摆动(概率论中的“频率围绕一个常数摆动”和“频率在概率上稳定”与一般意义上的不同。一般来说，随机实验次数越多，频率与概率偏离越大的可能性越小。这个常数叫做随机事件的概率。结合上面提到的随机实验的特点，笔者发现造成上述现象的原因是教师往往忽略了以下三点:在随机实验中，每次实验前，(1)结果是不可预测的，无法说会出现哪种结果，但每次实验后，实际结果是客观存在的，如果进行大量重复实验，实际结果具有统计规律性；(2)只有观察大量随机实验的结果，排除一些罕见现象，才能抽象出统计规律性；(3)实验得到的频率只是概率的一个估计，通常需要大量的实验才能得到更高的概率的近似估计，在有限的课堂时间内不容易做到。而且在概率论中，“等可能性”是一个公认的未定义概念，其作用和地位类似于几何学中的“点”和“线”。虽然没有定义，但在此基础上可以建立逻辑兼容的理论。只有通过经验，人们才能决定任何实际事件是否符合理论。所以“等可能性”可以从概率的经典定义的角度来理解——因为投掷的结果只有两种可能性，而两种结果的可能性是相等的，所以这个随机事件的概率是，但无法通过实验和游戏来验证和证明；实验和游戏可以让学生体验到可能性和随机性的辩证统一，培养学生的随机思维。课堂上引入随机实验，既不是为了让学生得到相等的结果，也不是为了验证和证明规则的公平性，更不是为了通过实验得到概率的估计值，而是希望学生在进行随机实验和收集数据的过程中，进一步体验随机思想、感受和理解的可能性。
另外，人教版教材训练和苏教版教学参考中都提供了“随着实验次数的增加，硬币正面朝上的数量和硬币反面朝上的数量会越来越接近”的说法。虽然这是严格意义上的不科学的说法，但由于小学生认知水平的限制，学生很容易理解。教师在引导学生理解可能性的时候，要注意引导学生在分析比较数据的过程中参考实验的总次数，渗透频率是一个相对数据的意识，不要打乱这个概念；避免学生使用绝对数据(如差值)进行比较。当然，有一个结论是错误的:在这样的口袋里，如果你随意摸一个球，摸多次，摸到红球的可能性和摸到黄球的可能性几乎是一样的。正确的说法可以是:包里有三个红色的球和三个黄色的球。一次摸一个，摸多次，摸红球和黄球的次数差不多；在这样的口袋里，随便摸一个球，都同样有可能摸到一个红球和一个黄球。
在六年级上学期的例题和习题教学中，不仅要教给学生计算概率的正确方法，还要注意引导学生理解概率的意义。如果你掷出一个骰子，骰子的六个面分别是1、2、3、4、5、6，老师要引导学生明白，掷出的结果只有六种可能性，而这六种结果的可能性是相等的，所以数字1的可能性是；因为1，3，5都是奇数，每个数的可能性分别是，所以奇数的可能性是三，也就是；因为有三个奇数和三个偶数，所以奇数或偶数的可能性为零。再比如，前述问题(4)中的练习①，由于篮球投篮的条件无法控制，不能定义为随机测试，所以“篮球运动员投篮一次，两次结果‘命中’或‘未中’的可能性相等，P(命中)=P(未中)=”的说法是不正确的；练习②老师要明白的是，无论抛多少次硬币，正面朝上的概率都是0，但抛40次硬币的次数可能是0-40次中的任意一次，这反映的是随机事件的随机性，而不是统计规律性。
三、从反思到探索:独辟蹊径的探索策略
1.调整教材编排体系，理解“可能性”
听过很多老师教的“可能性”这一课，也研究过很多“可能性”的教学设计。但是有一个问题一直没有解决，就是学生在开始实验和分析数据之前，也就是在进行猜测的时候，对碰球、抛硬币等随机现象有了一些体验。然而，在分析实验数据时，学生感到困惑，对自己的猜测产生怀疑。他们认为自己的猜测是对的，却得不到与猜测相符的结果。怎么会呢？笔者认为原因有二:一方面，寻找随机事件的统计规律需要大量的实验，由于课堂实验不多，很难从得到的数据中找到统计规律；另一方面，学生的猜测可能是基于葫芦画瓢，他们可能会错误地认为“只要投掷硬币一定次数，正面或反面就会出现同样多的次数，尽管现在没有那么多，因为扔得不够多。”对于小学生(尤其是三年级学生)来说，认知水平和知识准备不足，很难理解随机事件的偶然性和必然性，所以很可能老师讲得越多，学生就越迷茫。基于以上意见，教材可以把简单概率知识的教学放在第二期或以后，应该是简单的:先知道确定现象和不确定现象，学完比的概念，知道相等和可能的可能性，知道用分数表示事件的可能性，最后学习游戏规则的公平性。这种编排系统可能更适合学生的认知水平，有利于教师组织教学。
2.体验实验的活动过程，体验“可能性”
小学生第一次学习可能性时，由于可能性研究的是随机事件偶然性中的必然规律，不经过随机体验过程，学生很难建立相关概念。通过随机实验、数据分析和结论推断，让学生体验日常生活中大量不确定的现象，有些事情可能发生，有些事情可能不发生，通过分析这些现象找出规律；渗透随机性和概率的思想。例如，当六年级的教学是“可能的”时，教学过程就可能按照这个线索来设计:
(1)合作实验指导探索。
①预测试猜想
问题:随意扔一枚硬币，猜猜会扔向哪边？头和尾朝上的可能性呢？
②学生分组测试，收集分析数据。
实验一:老师抛一次硬币。
体验:事件的随机性和结果的客观存在性。
实验二:平等分组，在相同的实验条件下，每人尝试抛硬币两次。
引起学生的怀疑，再次体验事件的随机性，引发认知冲突。我们的猜测正确吗？怎么才能猜测出自己的猜测是正确的呢？
实验三:分成相等的组。在相同的实验条件下，每组尝试投掷硬币40次。
收集数据，统计数据，计算比值，做折线统计图。
指导学生看图，初步体验比例(频率)会高一点或低一点，但基本会左右摇摆。
(2)正确推断，理解概率
(1)出示科学家数据表，进行推论。
在展示了科学家的数据表，计算了比例之后，还做了折线统计图。
进一步认识到，随着测试次数的增加，比率(频率)将稳定在。
(2)结合意义，理解分数表达的可能性。
想想看，随意抛硬币的可能性有多大，正面朝上？
引导学生从某种意义上理解:投掷结果只有两种可能，而这两种结果的可能性是相等的，所以其中一种的可能性是。
3.提高对概率的理解水平，理解“可能性”
我们常说:给学生一杯水，老师要有一桶水；给学生一杯水，教师要有“源源不断的流水”。客观地说，很少有小学数学教师系统地学习过概率论的知识，但为了引导学生理解事件的随机性、事件结果的必然性以及大量随机现象中的统计规律性，教师必须深入学习这些知识。只有这样，教师才能在概念清晰的前提下帮助学生理解可能性，及时发现并纠正学生片面、肤浅的理解，避免学生越说越糊涂的现象。因此，教师在教学过程中应注重以下几点:
(1)试验要求要明确，同等条件下要突出大量重复试验。
(2)测试前不可能知道事件的结果，因为事件是随机的；但实验后的结果是确定的，同时由于课堂实验数量少，学生也不容易看到统计规律。
(3)弄清频率、频度、概率等概念的含义，注意在教小学生的时候，语言描述可以通俗，不用专业术语，但要尽量准确，符合概念的定义。如描写频率:应该说出现的次数差不多；比如描述频率:理解它是一个比值，一个概率的近似值，它总是围绕一个常数摆动；如描述概率:应该说可能性相等，可能性大，可能性小，可能性是什么。
(4)等可能性是用“以部分推断整体”的统计推断方法从大量数据中抽象出来的，因此无法验证。所以教学方法不应该是简单的猜测-验证，而是猜测-实验-分析-推断。
(5)正确处理课堂上的“坏”数据。实际上，随机事件的统计规律应该排除“长系列正(负)脸连续出现”和“正(负)脸出现频率偏差较大”的极端情况，因为这些情况在大量实验中都会是小概率事件。但是学生没有系统的概率知识，无法向他们解释。当他们面对手中10或者40个实验的乱七八糟的结果，找不到规律，思维就会遇到障碍。为了帮助学生跳出困境，充分利用已有的数据，在课堂上探索更多的实验结果，找到规律，教师可以引导学生积累数据:10次，20次，40次，160次...然后联系历史上数学家的实验数据，启发他们以总投掷次数为“参考”，用相对的眼光观察数据。组织学生体验可能性更符合概率的思想。
(6)小学生知识准备不足，认知水平有待提高。所以小学概率知识的教学重在体验和领悟，不要求理解深刻。教师在教学中永远不要提高自己的要求。
“可能性”教学是新课程标准的核心内容。对于一线教育工作者来说，需要不断学习、实践、反思、创新，才能熟练掌握这些知识，引导学生真正理解。文中观点仅代表我们目前的思路，未必正确。小学数学的教材和教学方法既要考虑知识的科学性，又要考虑小学生的可接受性，这是一个非常复杂的问题。写这篇文章的目的是希望老师们能参与讨论，提出意见，在实践中创新。我相信，小学数学中“可能性”的教学，最终会“吹散黄沙，看见黄金”。