有哪些至今未解的几何题？
首先，把一个圆变成一个正方形。古希腊有一位学者，名叫阿拉·萨戈拉。有一次，他提出太阳是一个巨大的火球。从现在来看是绝对符合客观事实的，但当时人们相信太阳是阿巴罗神化身的神话。于是阿拉·萨戈拉被判犯有亵渎罪，被判处死刑，投入监狱。
在等待行刑的时候，他还在思考宇宙和一切，包括数学。一天晚上，他看到一轮圆月透过方形的栅栏照进了他的牢房。他的心动了，他想:如果已知一个圆的面积，怎样才能做出一个正方形，使它的面积正好等于这个圆的面积？这个问题看似简单，却难倒了阿拉萨戈拉。在古希腊，绘画工具受到限制，只允许使用尺子和圆规。
阿拉克萨戈拉一直在思考这个问题，甚至忘记了自己是否还是一个要被处决的囚犯。后来被好友伯里克利(当时杰出的政治家)所救，出狱。但这个问题并没有被他自己解决，也没有被古希腊的数学家解决，成为历史上三大著名几何问题之一。在随后的两千年里，有无数的数学来论证这一点，却始终没有得到答案。
第二，立方积。这个问题也是几何三大难题之一。据传说，在古希腊，有一年在一个名叫泰洛斯的岛上发生了一场瘟疫。岛上的居民到庙里为宙斯祈祷，询问如何避祸。许多天过去了，巫师终于传达了诸神的旨意。原来宙斯认为人们对他不够虔诚，他的祭坛太小。如果你想避免瘟疫，你必须做一个两倍于这个祭坛大小的新祭坛，而且你不能改变立方体的形状。于是人们很快测量了尺寸，将祭坛的长、宽、高翻了一番。第二天，他们把它献给了宙斯。没想到，瘟疫不但没有停止，反而更加流行。泰洛斯的人们惊慌失措，再次向宙斯祈祷。巫师再次传达了宙斯的意愿。原来新坛的体积不是原来坛的两倍，而是八倍。宙斯认为泰洛斯违背了他的意志，因此更加生气。当然，这只是传说，但确实这个问题至今没有答案。
问题是:仅仅用没有刻度的圆规和直尺做一个立方体，就使得这个立方体的体积是已知原始立方体的两倍。因为至今无人解答，成为几何第二大难题。
第三，角度三等分。关于这个问题还有一个传说。据说埃及的亚历山大是公元前4世纪著名的繁华首都。在城市的郊区有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主住的房子正好建在圆心。别墅南北墙上开了一扇门，河上建了一座桥。桥的位置正好与北门和南门在一条直线上。国王每天给公主的物品都是从北门送进来，先放在南门的仓库里，然后公主再派人从南门取回房间。从北门到公主府，从北门到桥，两条路的长度完全一样。公主还有一个妹妹，小公主，国王会为她建一座别墅。小公主建议她的别墅应该建得和她姐姐的一模一样。小公主的别墅马上就要开工了。然而，当工匠们在南门建成后决定桥和北门的定位时，他们发现了一个问题:如何才能使北门到卧室的距离和北门到桥的距离相同？最终工匠们发现，要想有相等的距离，首先要解决平分的问题。只要能解决问题，就能确定桥和北门的位置。
于是工匠们试着用尺子和圆规绘制出桥的位置，但是过了很长时间，还是没有解决。无奈之下，他们只好请教当时最著名的数学家阿基米德。阿基米德看到这个问题，想了很久。他在尺子上做了一个固定的记号，很容易地解决了这个问题。每个人都非常钦佩他。但是阿基米德说，这个问题还没有真正解决。因为尺子一旦做了记号，就等于做了记号，这是尺子画法中不允许的。于是这个问题困扰了无数数学家两千年，直到一百多年前，德国数学家克莱因做出了一个不容置疑的证明:仅仅用尺子和圆规是不可能解决这三个问题的。换句话说，这个问题至今没有真正解决。