如何在教学中渗透函数思想和模型思想

函数思维是一种考虑对应、运动变化和依赖，从一种状态确定地描述另一种状态，从研究状态过渡到研究变化过程的思维方法。函数思想的精髓在于建立和研究变量之间的对应关系。模型思维是通过对所要解决的问题构造相应的数学模型来解决实际问题的数学思维方法。

函数思想在小学强调“渗透”，让学生感受到“变中求不变，把握规律的重要性”。小学不要求学习“正式的”函数定义。

在小学数学教学中渗透函数思想，应把握以下两条基本原则:

(1)只有创造“变”的过程，才能感受到函数思想。

(2)激发学生“探究”的天性，在“变”中把握“不变”。

1.探索规律——对“模式”的初步认识。

“探索规律”其实就是培养学生“模式化”的思维，发现规律就是发现一种“模式”。比如高一第二册:百位数字表中的规律，在百位数字表中，我们不仅可以探索数字的排列规律(横、竖、斜)，还可以进一步探索每行两个相邻数字的规律，每列两个相邻数字的规律，甚至每两行、每两列四个相邻数字之间的规律。这些规律包含了各种变化的模式。再比如六年级第六册:正负比例意义的学习，是对变化“方式”的集中探索。在对这一内容的研究中，许多不同的变化规律都以表格的形式呈现出来。

2.基本的数量关系、图形位置和变换——“关系”的体验。

函数就像一座桥，在两个集合之间建立“关系”。

①“一一对应”贯穿小学数学教材。比如，当我们认识到数字1-10时，就可以呈现出来。对象的数量与点阵图一一对应，是联系具体对象和抽象数字的桥梁。

②在小学阶段，学生接触较多的是“两个肯定或一个的多个肯定”，即二元函数和多元函数。比如“体积的问题”就来自课本上的一道习题。从四个角各切下一块长30厘米、宽25厘米的长方形铁皮，然后做成一个盒子。这个盒子里用了多少铁？它的体积是多少？“这个问题只是一个简单的计算问题。当然，学生的空间概念也在解题过程中得到了发展。但如果把原问题中“切下一个边长为5厘米的正方形”的规定改为猜测并验证“切下一个边长为多少厘米的正方形时，铁盒子的体积最大”，问题就由静态变成了动态。借助于这样一个运动和变化的过程，学生们开始被灌输功能性的思想。

小学课本给学生提供了很多关于各种材料和形式的集合之间“关系”的直观体验。“关系”的体验使学生对变量之间的依赖关系有了初步的认识，而这种变量之间的依赖关系恰恰是函数概念的本质。

3.字母代表数字、图像、表格等。——各种数学语言的感受和初步运用。

因为函数反映变量之间的关系，所以必须用数字以外的符号来表示。常用的方法有四种:语言描述、表格、图像、解析公式。比如在教授加法和乘法的规律时，出现字母代表各种运算规律，让学生初步感受到字母可以代表一般意义上的数字。再比如五年级长方体体积公式的推导。教材中长方体体积的计算公式是用体积单位的长方体拼在一起后填表总结出来的。

4.为学生提供更多运用函数思想解决问题的机会。

学习函数要与理解、感受、运用函数解决问题有机结合。要引导学生思考函数的应用，尤其是函数在日常生活和其他学科中的应用。比如可以给学生提供心电图，让他们了解时间和心跳频率的函数关系。

第二，模型思想

小学数学课本上到处都是模型。小学生学习数学知识的过程，其实就是理解和掌握一系列数学模型的过程。在小学数学教学中，重视渗透建模思想，帮助小学生建立和掌握相关的数学模型，有助于学生把握数学的本质。

小学数学教学中如何将模型思想渗透到课堂教学中？

1)多利用物理模型。

在小学数学中，学生要接触各种数字:自然数、分数、小数，这些都是现实模型的抽象。所以教学中要及时有一些实物模型，比如低年级教学用的棍子:一根一根，一根一根。这样，学生在刚接触数学的时候，通过自己的直觉和动手，逐渐有了一和十的概念。这些直观的模型对于学生学习和理解数学知识非常重要，但是在我们的教材和教学中并没有得到充分的体现，这就需要我们的教师意识到它们的重要性，挖掘相应的素材。

第二，选择合适的数学模型，让学生逐渐感受模型思想。

在正常的教学中，一节课可以使用的数学模型很多，但如果没有目的地误用，可能会导致课堂混乱，学生注意力不集中，或者对这节课的重难点了解不多，这就需要教师根据学生的年龄特点、知识分布、性格特点选择合适的数学模型，提前备课。比如，在低年级的教学中，可以采用比较直观、动手的模型，在学生对数学学习有了一定的经验后，可以逐步采用一些图表模型、线条模型等抽象的模型，这样不仅会给学生一定的成就感，也有助于培养学生的模型思想。

第三，更加关注学生的学习过程。

数学教学不仅仅是教给学生知识，更重要的是教会学生学会发现问题，然后用数学思维方法去解决问题。因此，在小学数学教学中，要关注学生的学习过程，让学生在通过一些直观的模型和抽象的模型得出数学结论的同时，学会如何解决数学问题，培养他们勤动手、大无畏的品质，为学生的终身学习和成功奠定基础。