什么是等差数列？
什么是序列？
数列是以正整数集(或其有限集)为定义域的函数，是有序数。一个数列中的每一个数都称为这个数列中的一个项。排名第一的数称为本数列的1项(通常也称为第一项)，排名第二的数称为本数列的第二项，以此类推，排名第n的数称为本数列的第n项，通常用an表示。著名的数列有斐波那契数列、卡特兰数等等。
换句话说，首先，数列是函数，不是集合。虽然数列可以用类似于集合的方式表示(如{1，2，3，4})，但它与数集{1，2，3，4}有本质的区别。序列和集合的区别如下:
(1)顺序必须符合顺序。比如集合{1，2，3，4}表示当n=1时，an = 1；当n=2时，an=2，依此类推。所以它和{1，3，2，4}是两个不同的集合。虽然它们的域范围相同，但是它们的对应关系是不同的。而{1，2，3，4}和{1，3，2，4}是同一个集合。
②序列不必满足各向异性。我们知道一个集合的元素必须满足互不相同，即任意两个元素不能重复，但一个数列中的项可以相等。所以在数列中，摆动数列，周期数列，常数数列都是允许的。例如，序列an=sin(nπ/2)就是一个典型的周期序列。因为级数本质上是函数，函数的因变量可以相等，所以级数的不同项也可以相等。
但是顺序不同于一般功能:
①序列的定义域只能是正整数。n可以是1，2，3，4，5，但不能是0，-1，-2，也不能是0.5，1.8这样的数，函数的定义域没有这样的限制。
(2)级数在几何上表现为点集，所以级数不是连续的，我们接触到的函数大多是连续函数，在几何上表现为曲线。
最著名的数列是斐波那契数列:1，1，2，3，5，8，即每一项等于前两项之和。这个系列完美地解释了系列的顺序和每个项目之间的可重复性。当然，这个系列有一个通用公式。
什么是等差数列？
等差数列是指每一项与其前一项之差等于来自第二项的同一个常数的数列，常用AP表示。这个常数称为等差数列的容差，常以字母d表示，例如:1，3，5，7，9...2n-1。一般公式为:an = a1+(n-1) d .第一项a1=1，容差d=2。(以上n均为正整数)
这里需要注意的几个问题是:
(1)在等差数列中，必须是后一项与前一项之差为常数，而不是后一项与前一项之差或前一项与后一项之差为常数。比如1，3，1，3，1不是等差数列，而是一个摇摆数列。
②等差数列是可以用公式表示的数列。
③等差数列的容差可以是0。当且仅当容差为0时，序列不是单调的。在其他情况下，等差数列是单调的。
等差数列的发展史
(1)其实中国古代南北朝的张秋俭在张秋俭的数学名著中就已经提到了等差数列:今天，有些妇女不善于织布，她们每天织的布的数量减少了相同的数量。一天开始时，他们织五只脚，一天结束时，他们织一只脚。30天后，他们请* * *织几何。书中的解决方法是:将首尾编织数合并，一半，其余按编织天数。这相当于给出了S(n)=n(a1+an)/2的求和公式。
②西方最著名的等差数列是高斯数列。七岁时，高斯第一次去上学。前两年没什么特别的事。1787岁，高斯10。他进入了第一次创办的学数学班。孩子们以前从未听说过像算术这样的课程。数学老师是Buttner，在高斯的成长过程中也起到了一定的作用。高斯在10岁的时候，算出了布特纳给学生出的算术题，把1到100的所有整数加起来。就在布特纳描述完问题后，高斯算出了正确答案5050，利用算术求和公式，Sn=[n(a1+an)]/2。
等差数列的共同性质
①等差数列的前n项求和公式:Sn=na1+[n(n-1)d]/2或Sn=[n(a1+an)]/2。
②当m+n = p+q时，am+an=ap+aq。
③等差数列的前n项之和可以写成Sn=an？+bn的形式。
④Sn，S2n-Sn，S3n-S2n还是等差数列，容差是n？d .
⑤前n项分别为Sn和t n的两个等差数列{am}和{bm}，有AM/BM = S(2m-1)/T(2m-1)。
⑥项目数n=(an-a1)/d+1，an = a1+(n-1) d。
⑦算术平均项:若A，B，C满足2b=a+c，则B称为A，C的算术平均项..
对比几何级数。
①等差数列通式为an=a1+(n-1)d，等比数列通式为an = a1 q (n-1)。
②等差数列的求和公式为Sn=na1+[n(n-1)d]，比例数列的求和公式为Sn = a 1(1-q n)/(65438+)。
(3)等差数列的容差d没有限制，等比数列的公比q不能为0，而当公比q为1时，数列实际上变成了一个常数数列(非零常数数列也是等差数列和等比数列的唯一交集)。此时不能应用几何级数前n项的一般求和公式，而应直接使用Sn=na1。
4等比例项:如果a，b，c满足b？=ac，那么b就是a和c的等比均值，显然，两个符号相同的数有两个等比项，两个符号不同的数没有等比项。任何两个实数都有算术平均值。
⑤下标和公式:对于等差数列，当m+n=p+q时，AM+An = AP+AQ；对于几何级数，如果m+m=p+q，那么am = AP AQ。