最小余数是“1”还是“0”？
最小余数1还是0？这个问题你选哪个答案？除数为6时，余数可以是多少？你填0-5还是1-5？
这都涉及到余数能否为0的问题。在《九义》教材中，0的余数被认为是无余数，1被认为是最小余数。然而，实验教科书对此有不同的理解。我觉得下面这篇文章在所有参考文献中还是比较清晰的，推荐给同事们参考。
在整数除法中余数可以为零
很多小学数学老师都问过我这个问题:“整数除法中，余数可以是0吗？”这个问题早就有定论了，我想都没想就肯定的回答:“当然余数可以是0。”出乎意料的是，他们不同意这个答案，原因如下:
第一，人教版义务教育课程标准实验教材《数学》从一年级上册到六年级下册都没有“余数可以是0”的表述。
其次，《现代汉语词典》(修订版)(商务印书馆，1996)第1553页对“余数”一词的解释为:“在整数除法中，被除数不能被大于0但小于除数的被除数整除的部分。比如27 ÷ 6 = 4...3.即不完全商为4，余数为3。”这意味着余数不能为0。
数学课本上找不到“余数可以是0”的说法，但我在字典里找到了“余数不能是0”的证据。难怪他们对我的回答持怀疑态度。面对这样一个困扰小学数学同事的问题，如何才能追根溯源？
我仔细查阅了人教版的全套小学数学教材，确实没有找到“余数可以是0”的表述。只是在初三下册第26页练习6第3题的必考语文中，我发现了“余数为0”的三种表述。我知道这样的说法没有出现在文中，也没有说明道理，不足以成为论据。课本上什么都没有。似乎只有通过合理的推测和相关的考证，才能为我们的小学同事解决问题。
1.用对立统一的观点看0。
众所周知，当盘子里连一个桃子都没有的时候，我们说盘子里的桃子数是0。从这个意义上说，0是空集的基数，0表示“无”。但是，0是一个确定的数，它是自然序列的起始数，它既不是正数也不是负数，它是唯一的中性数。从这个意义上说，0表示“是”。这不难理解。比如小明在黑板上写了一个“0”。你不能说他什么都没写！比如某个地方的温度是0摄氏度的时候，你不能说那个时候没有温度！所以，要用对立统一的辩证观点看待0，要明白0可以表示“无”也可以表示“有”。从这个角度看整数除法，我们很容易发现，当15÷5时，得到的是整数商3，可以说是“无余数”或“余数为0”。这两种说法完全等价，所以都是对的。
2.从发展变化的角度看概念之间的关系。
人们对数学概念的认识不是一成不变的，而是处于不断的发展变化之中。比如“整数”和“分数”起初是两个平行的概念，相互排斥，截然不同，不能混淆。但由于数学本身的发展，后来人们把整数看成分母为1，分子为整数的假分数，如3=3/1，65=65/1。这样“分数”的外延就扩大了，“整数”和“分数”的关系也从并列变成了包含。“整数”是“分数”的特例，它整合了分数集的真子集。本来整数集和分数集的并集就是有理数集，后来这个广义分数集其实就是有理数集。
同样，人们在研究整数除法时，首先研究被除数能被被除数整除的情况，比如15÷5，刚好得到整数商3，记为15÷5=3。后来我们研究了有余数的情况，比如16÷5，得到不完全商3，余数为1，记为16÷5=3…1。起初，“整除”和“有余数的除法”也是平行且互斥的概念。前者没有余数，后者有余数，两者互不相容。后来，为了研究方便，人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大，把原来的两个概念一起包括进去。因为很容易做到:只要把“可除”时的“无余数”视为“余数为0”。这样，“可除性”就成了“有余数除”的特例，“可除性”和“有余数除”自然由对立变为统一，在“有余数除”的广义上统一起来。
3.余数为0的说法是有据可查的。
其实“余数为0”这种表述早就被数学界认可了。
(1)《小学数学教师手册》(人民教育出版社，1982)第49页有如下表述:
“要判断一个整数是否能被另一个正整数整除，只需要除以它。如果余数是0，那就是整除；如果余数不为0，则不能被整除。例如:
①a=91，b=13。A÷b=91÷13，商大于7 0。这说明91=13×7。即91能被13整除。
②a=97，b=19 .97÷19商5+2。所以97不能被19整除。
一般来说，对于整数A和整数B，如果a÷b除以商Q，余数为R，则有a = BQ+R..其中0≤r
②《数学手册》(人民教育出版社，1979)第1057页上的“数论”有如下表述:
“每个整数A都可以用正整数B唯一表示为A = BQ+R，0 ≤ R。
上面的不等式0≤r
值得注意的是，“按相除”也叫“欧几里德算法”。早在公元1247年，宋代数学家秦在其著作《九章》中对这一算法进行了卓有成效的研究。
(3)数学手册(人民教育出版社，1979)第1066页“数论”的“同余公式”中有如下表述:“设m为模，则所有整数可分为m类，同类数全等，但不同类的数不同，故这样的类称为同余类。
很容易知道，在这个用0表示的剩余类中，每个数除以m，余数都是0。也就是说，这些数字中的每一个都是m的倍数。
实际上，我们不仅从剩余类理论中看到了“余数为0”的认识，还可以利用剩余类理论和“鸽子洞原理”来解决一类整除问题。包含此类问题并给出答案的数学书籍比比皆是。这里有一个例子。
证明:任意四个整数中，一定有两个这样的数，它们的差可以被3整除。
证明:因为任何整数被3除，余数只能是0，1，2。也就是说，所有的整数除以3得到的余数，可以分成余数分别为0，1，2的三个剩余类。把剩下的每个类想象成一个抽屉，剩下的三个类就是三个抽屉。根据鸽子洞原理，如果你把四个整数放在三个抽屉里，至少有一个抽屉里会有两个整数。由于这两个整数属于同一个剩余类，所以它们除以3得到的余数一定是相同的，所以它们的差除以3得到的余数一定是0，也就是说，差一定能被3整除。
综上所述，在整数除法中，余数确实可以是0。但是，在现行的人教版小学数学教材中，却完全忽略了它，这让在教学中起主导作用的老师很困惑，这实在是不合理。从这个角度来看，教材必须修改。
1.教科书修订的意义
(1)有助于学生了解0的双重含义，知道0可以表示“没有”和“是”。使用修订后的教材进行教学，可以让学生初步感受到对立统一的辩证思想。
⑵有助于学生用辩证唯物主义的观点理解概念之间的关系，认识到学习带余数的除法后，原除法(包括表中的除法)可视为带余数除法的特例，从而理解“特殊”与“一般”的关系。
⑶有利于学生后续的数学学习。
2.对教材修订的具体意见
(1)需要明确指出的是，“无余数”是指“余数为0”。
人教版小学三年级数学上册第四单元“有余数的除法”第50页1的例子是:“搬15盆花布置会场，每组5盆。能放几组？”解决这个问题的横式是15÷5=3(组)。然后，教材还列出了立式。
这个例子显然起到了承上启下的作用:它不仅承接了高二下册的“表中除法”，而且引入了竖式除法，为“余数除法”的教学铺平了道路
51页的例2是:“一个* * *有23盆花，每组可以放5盆，最多4组，多放3盆。”这是第一个有余数除法的例子。回答时，教材先列出横式:
23÷5=4(组)...3(盆地)。
然后在横式下面列出竖式，用虚线把两个式子中的3个连起来，标上“余数”二字。
上面的教材安排还是挺巧妙的，不过要补充一下。建议在这两个例子后安排一个对“0”的辩证理解，让学生明白“0”是“不”的意思，但也是一个确定的数。从这个意义上说，“0”也意味着“是”。然后，引导学生观察比较这两个例子的竖式，发现例1竖式中的底“0”与例2竖式中的底“3”位置相同。“3”不仅代表余数，也可以看作余数。以前我们说15÷5正好等于3，没有余数。现在我们也可以说，15÷5，商是3，余数是0。
相信同学们可以轻松愉快的接受辩证唯物主义的启蒙教育。
(2)需要明确指出的是，当除数为a时，* *有不同的余数:0，1，2，…，a-1。
初三上册第52页的例题3是:“如果最后一个例题有16盆花，你能放几组？”还有多少壶？如果是17盆，18盆，…，24盆，25盆呢？"
教科书上列出了一组公式:
15÷5=3(组)
16÷5=3(组)...1(盆地)
17÷5=3(组)...2(盆地)
18÷5=3(组)...3(盆地)
19÷5=3(组)...4(盆地)
20÷5=□(组)
21÷5= □(集团)……□(盆地)
22÷5= □(组)……□(盆地)
23÷5=
24÷5=
25÷5=
在这组公式的右边，问了一个问题:“通过观察余数和除数，你发现了什么？”旨在引导学生找到“余数小于除数”的结论。
这个问题编得很好，不需要大的修改。关键是加一段话告诉学生“15÷5=3(组)”也可以写成“15÷5=3(组)...0(盆地)”。这样呈现给学生的余数就有五种，分别是0，1，2，3，4，这样学生就不会误以为“一个整数除以5只有四种余数，即1，2，3，4”。
四年级学完“用字母表示数字”后，课本上还要用更通俗的语言告诉学生:在整数除法中，如果除数是a，余数只能是0，1，2，…，a-1，还有一个* *。
如今，数学不仅作为一种工具发挥着越来越重要的作用，而且作为一种文化，它越来越受到人们的欢迎。近年来，人们对0的双重含义的理解越来越到位。不，没有距离就叫“零距离”；没有关税就叫“零关税”。把没有误差称为“零误差”；称无风险为“零风险”。而零增长、零收入、零亏损、零排放、零亏损、零学费、零首付、零月租、零利息等表述早就在各种媒体上看到了。随着时间的推移，这种以“零××”为模式的词还在不断诞生。前段时间，美国国务卿希拉里因为不满下属的荒唐行为，发起了“零容忍”这个词，颇有新意。
“0”是数学中的一个元素。在数学的整数除法中，确实存在余数为0的现象。为什么我们的小学数学课本里连一个“零余数”都不敢提？这真是:墙外百花齐放，墙内藏万物。我不知道这是什么意思，但它伤害了我！
教材是教师和学生开展教学活动的重要资源和主要依据。该澄清的必须澄清，该规定的必须规定。一切都应该为了学生的发展。不要把一些孩子应该知道的数学知识藏起来，还藏得那么干净、那么彻底，让老师们百思不得其解。试想，如果课本让老师“找不到北”，我们的孩子能有多聪明？