举例说明什么是数学认知结构和数学知识结构。

简单地说，数学认知结构就是学生头脑中获得的数学知识结构，它只是学生主观改造后的一种数学知识结构。它是数学知识结构和学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识以及这些数学知识在学生头脑中的组织和特点。

二、数学认知结构与数学知识结构的区别

数学认知结构和数学知识结构是两个不同的概念，既有密切的内在联系，又有严格的区别。两者的关系主要体现在学生的数学认知结构是由课本上的数学知识结构转化而来的，是数学认知结构形成的物质基础和客观基础。两者的区别主要表现在以下几个方面:

长度概念的内涵不同。数学知识结构是由数学概念和命题组成的数学知识体系，它以最简单、最概括的方式反映了人类对世界数量关系和空间形式的认识成果，是科学真理的客观反映。数学认知结构是经过学生主观改造的一种数学知识结构。它是数学知识结构和儿童心理结构高度融合的结果。其内容既反映了数学知识的客观性，也反映了认知主体的主观性。

2.信息以不同的方式表达。数学知识结构和数学认知结构都表达信息，但它们在信息表达方式上有明显的区别。教材中的数学知识结构用文字和符号详细表达了关于世界数量关系的信息和空间形式的认知成果。它是一个逻辑严密、结构相对完善的数学知识体系。在这个体系内，知识的逻辑起点，知识的表现形式，前后内容的关系。在其载体——数学教科书中有明确具体的表述。而学生头脑中的数学认知结构主要以语义的方式表达信息，通常以直观的方式在头脑中存储信息。这一表述表明“认知结构已经整合了知识表征和个人智力活动”

3.该结构以不同的方式构建。数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性。数学作为小学课程的内容，虽然经过了教科书编写者的教学方法的处理，但其内容仍然是一个相对严密的逻辑体系，内容连贯有序，整体结构相对完善。然而，学生头脑中的数学认知结构与内容之间并没有严格的逻辑顺序。它既不是组织良好的线性结构，也不是有序的网络结构。数学知识结构一旦被学生内化为认知结构，其内容的逻辑顺序和层次往往被淡化，不同的内容呈现出相互融合的趋势，其内部结构也不像数学教材那样清晰。

4.结构的完整程度不一样。教材中的数学知识结构在内容上相对系统、完整、无缝，结构本身涵盖了其所有组成部分。如“分数的意义和性质”的知识结构包括分数的意义和单位、分数与除法的关系、分数的分类、假分数与分数、整数的互化、分数的基本性质、归约和一般分数等。这些内容构成了完整无缝的单元知识结构。然而，由于学习者在接受和理解上的错误以及学习后的遗忘，数学的认知结构往往是不完整的。比如“分数的意义和性质”的知识结构转化为学生的数学认知结构后，他们可能对每一项内容都不是很清楚，有些内容可能很模糊，甚至完全忘记。所以对学习者来说可能是一个不完整的数学知识结构。这说明学生的数学认知结构是由课本的知识结构转化而来的，但并不一定课本上写的和老师说的都能被接受并原封不动地保存下来，其内容往往可能会有一些空白。

5.科学内容不一样。数学教材知识结构中的内容是经过逻辑严格论证和实践检验的科学真理，能够正确反映客观世界的数量关系和空间形式的普遍规律，通常不会有错误。数学认知结构中的内容不一定是科学的，因为它是数学知识结构和学生心理结构相结合的产物，是经过学生主观改造的数学知识结构。它的内容可能是正确的，也可能是错误的，更有可能是部分正确部分错误的。显然，学生头脑中的数学知识的科学性需要得到检验。不能把学生数学认知结构的科学程度等同于数学教材知识结构的科学程度，从而掩盖学生在学习过程中可能存在的一些误区。

(1)认知结构迁移理论的基础是奥苏贝尔的有意义谚语学习理论(即同化理论)。

认知结构是学生头脑中的知识结构。广义来说，就是学生头脑中的所有内容和组织；从狭义上讲，它是学生在某一学科领域的思想内容和组织形式。

奥苏贝尔认为，“为迁移而教”的本质是塑造学生良好的认知结构。可以从教学技术、教材内容、教材呈现三个方面保证学生形成良好的认知结构，以利于迁移。设计先行组织者先行组织者是在学生学习新材料之前呈现给他们的一种引导性学习材料。它用通俗的语言概括了认知结构中要学习的新材料与原有知识之间的联系，为新知识的学习提供了一个认知框架。先行组织者可以是一条法律、一个概念或一般性的说明性文本，也可以是一个可视化的模型。