请举例说明一个与莫比乌斯带有相同面数的物体。
莫比乌斯带只有一边，
如果你想把它分成两半，
你会觉得很可笑，
因为分离后还是一条。
关于莫比乌斯环有三个奇迹:
莫比乌斯环只有一面。
2.如果沿着莫比乌斯环的中间切开，就会形成一个比原来的莫比乌斯环大一倍、有两边的环(环0)，而不是形成两个莫比乌斯环或者另外两个环。
3.如果再沿着环0的中间切开，就会形成与环0空间相同的两个环，这两个环嵌套在一起(环1和环2)。之后你沿着环1和环2的中间以及沿着环1和环2的中间切割生成的所有环进行切割，就形成了两个环。
数学不仅可以帮助最大尺度的形状设计，比如三层半的复活节彩蛋，还可以帮助小尺度的设计。本章将描述大卫？美国博尔德市科罗拉多大学的。6?1沃尔巴和他的同事如何在奇怪的莫比乌斯带中合成分子的故事。
神秘的莫比乌斯带是数学家的宠儿。你可以用一条窄纸条做一个莫比乌斯带。比如拿一条加法器纸带，把它扭成两半，然后把纸带的两端连起来，形成一个闭环，就成了莫比乌斯带。
莫比乌斯带只有一边，只有一边。如果你用油漆刷沿着纸带的方向画，你会发现当油漆刷回到起点时，它已经画完了纸带的整个表面。如果你沿着纸带的一面做一个魔法标记，你会立刻相信纸带只有一面。
如果沿着纸带的方向把莫比乌斯带剪成两半，果然还是一条带子，正如五打油诗所说。
1858年，法国巴黎的一个科学协会给数学方面的最佳论文颁奖。在本次比赛提交的论文中，德国莱比锡的数学家奥古斯特？6?1费迪南德6？1莫比乌斯“发现”了这种曲面，现在以他的名字命名。莫比乌斯只是从纯数学的角度来讨论他的发现，比如他没有用自然界的分子来讨论莫比乌斯的可能性。
诚然，莫比乌斯没有想到莫比乌斯带等分子存在的可能性，因为当时的有机化学科学还处于起步阶段，人们连最简单的分子形状都一无所知，更不用说对数学有意义的复杂分子了。在莫比乌斯发现的同时，德国波恩大学的奥古斯特？6?1凯库勒宣布了他的发现，碳原子可以连接起来形成长链，这将成为有机化学的基础。
四年前，凯库勒在伦敦的一辆公共马车上第一次想到了碳链。他回忆说:“那是一个阳光明媚的夏夜。我坐最后一班长途汽车回家，像往常一样坐在‘车顶’座位上，穿过大城市没有行人的街道。在平时，这是一个充满活力的城市。我陷入幻想，我似乎看到许多原子在我眼前跳跃...我经常看到两个较小的原子如何结合形成偶数原子，1个较大的原子如何环绕两个较小的原子；还有较大的原子如何抓住三个甚至四个较小的原子，同时，它们如何在令人眩晕的舞蹈中快速旋转。我也看到了较大的原子是如何形成链的...无论如何，我会在晚上花些时间把这些幻想中形成的形态轮廓写进我的论文里。”
11年后，1865年，凯库勒意识到碳链可以旋转并形成环状。梦想再次激励了他。“我坐着写课本，但工作毫无进展，思绪纷乱。我把椅子转向壁炉，打起了瞌睡。原子又在我眼前跳跃了。此时，较小的原子小心翼翼地留在衬底上。通过这种重复的场景，我的头脑和眼睛更加敏锐，现在我可以分辨出各种形式的更大的结构，它们排成长排，有时更紧密地拼接在一起；整个线条曲折，像蛇一样移动。看啊！那是什么？一条蛇咬着自己的尾巴，在我眼前嘲弄地旋转，像一道闪电，把我惊醒...那天晚上，我推断出一个假设的结论。”
首先，凯库勒推导出苯的结构，它由六个碳原子和六个氢原子组成。凯库勒得出结论，六个碳原子形成一个六边形，每个碳原子上连接一个氢原子。
自从凯库勒确定了苯的形状，在120年内，有机化学家肯定发现了更复杂的分子形状，如双螺旋DNA分子。但是直到最近几年，化学家们才观察到莫比乌斯带形状的分子。
莫比乌斯分子不是在自然界发现的，而是由大卫？6?1是沃尔巴和他的同事在实验室合成的。起初，他使用形状像三阶梯的分子进行合成。阶梯的每一步其实都是一个碳碳双键，这里可以忽略。然后把梯子弯过来，把两端连接起来，让它实际上形成一个环。
环的一半只是一条环形带，而在另一半，当它的两端连接起来时，这一半就扭曲成了莫比乌斯带。
莫比乌斯带分子和莫比乌斯纸带一样，有很多神秘的性质。如果三个碳双键都断了，那么分子还是单分子。碳双键的断裂相当于把莫比乌斯带沿着纸带的中线分成两半。对于分子和纸胶带，结果都是一个单一的带，但其周长是两倍大。
化学家很早就知道，两种化合物可以有相同的分子式(即由相同的化学成分严格按照相同的比例组成的化合物)，但它们是以不同性质的化学实体存在的。如果相同的化学成分以不同的方式或不同的角度相互结合，就可能出现这种现象。但是，两种分子式相同的化合物，即使化学键相同，化学性质也可能不同。这怎么可能？
一个叫做拓扑学的数学分支可以解释这种现象。它是一门研究物体在不断变形时保持不变的性质的数学学科。想象一个物体是由弹性橡胶制成的。拓扑学家想知道当一个物体被推拉，但没有被刺穿或撕裂时，什么属性保持不变。这个抽象的概念可以用莫比乌斯的这个例子来形象地说明。假设你有一条橡胶莫比乌斯带，你可以用一切可能的方法拉伸它。无论你用多少种方式，都无法使它变形，最终的形状永远是单面的。因此，只有片面的自然才是拓扑学家所关心的。当一个形状可以连续变形为另一个形状时，从拓扑学的角度来看这两个形状被认为是等价的，所以无论莫比乌斯带被拉伸成什么形状，从拓扑学的定义来看也是等价的。
现在考虑两条莫比乌斯带，一条由向一个方向扭曲的橡胶带制成，另一条由向相反方向扭曲的橡胶带制成。
拓扑上，这两条莫比乌斯带等价吗？它们并不等同。两者都不能变形为另一种形状。如果你在镜子里看这两个带子中的一个，你会看到它的图像与另一个带子非常相似；这两个带是彼此的镜像。
这里我必须停下来做个否认声明，避免数学家的恶意攻击。数学家是一群怪人，拓扑学家不会把自己局限在三维空间。然而，在四维空间中，他们可以证明镜像中的莫比乌斯带可以相互转化。但是，我还是会坚持把我们的讨论限制在三维空间，因为我们探索的主要对象的形状总是在三维空间中被观察到的。所以我想重申一下，在三维中，镜像的莫比乌斯带和拓扑学的观点完全不同。
为什么两种成分相同、化学键相同的化合物，会有完全不同的实体，关键是从拓扑学的角度来看，可能存在完全不同的镜像。
因为右手和左手都是众所周知的镜像，所以人们习惯于把对面的物体称为左撇子或右撇子。在一对镜像中，哪一个叫镜像是一个习惯性问题。就像街道的右边没有绝对的位置，要看你走的方向。两条莫比乌斯带一直被称为右手和左手的莫比乌斯带，但不用担心哪个是右手，哪个是左手。分子也以右旋和左旋的形式存在，这种形式被称为手性，它是从希腊语“Cheir”中借用来的。
右手和左手的莫比乌斯带都是镜像的例子。从拓扑学的角度来看，它们的性质完全不同，但却有着等价的镜像。现在以一个简单的图为例。圆是它自身的镜像。很明显，从拓扑学的角度来看，一个圆就相当于它自己。
另一个例子是字母R和它的镜像。如果图形R是用软橡胶制成的，可以用拓扑变形法将其变换成它的镜像。
然而，分子不是由软橡胶制成的，物理约束力阻止它们以任何方式变形。尽管如此，R形分子可以在不弯曲的情况下转变成它的镜像——事实上，根本不需要弯曲。这一次，如果把硬塑料制成的字母数字r和它的镜像я放在桌子上，只要把它拿起来翻过来，其中一个就可以变成另一个。
这种变换被称为刚性变换，因为物体总是保持其刚性。
很多有机分子都是刚性手性分子:在刚性上和它的镜像完全不同。人体显然偏爱某些手性分子。例如，大多数蛋白质由L-氨基酸和D-糖组成。在人体内合成手性分子时，只能产生所需手性的手性分子。
然而，当手性分子如药物在实验室中通过非生物方法合成时，结果是右旋和左旋分子的半混合。当患者服药时，它是一种混合物，因为很难除去不在所需形式的分子。一般来说，不需要的形式的分子是生物惰性的，只通过身体而没有任何影响。有时候是有害的。在20世纪60年代初，它发生在孕妇身上。
服用玛丽·多米德的药的事件。药物中的右旋分子具有所需的镇静作用，而左旋分子可导致新生儿畸形。
英国伦敦皇家学院化学教授斯蒂芬？6?1在英国《新科学家》周刊发表的一篇文章中，梅森注意到，在标准药物手册中的486种合成手性药物中，只有88种由所需的手性分子组成。剩下的398种都是半混种。梅森得出结论:“它们都是在特定的环境(人体)中使用，某个标志会得到特别的偏爱。但是，会有什么效果呢？”
当一个有机化学家分析一个新的分子时，首先要做的就是试图确定这个分子是否是一个刚性的手性分子，即在刚性上是否与其镜像完全不同。这里可以使用拓扑学。从拓扑学的角度来看，如果分子与其镜像不同，那么它们的刚性也不同，因为刚性变换只能是拓扑学完成的众多变换中的一种。以上面讨论的r及其镜像я为例。当从一个变换到另一个时，可以获得中间形状的я，其具有对称性，并且其左半部分是其右半部分的镜像。
拓扑学家知道，如果一个形状可以转化为具有反射对称性的形状，那么这个形状本身就可以转化为它的镜像。这意味着，如果一个化学家能使一个分子获得具有反射对称性的形状，他就能消除该分子的手性。
这种观点经常被证明是有用的。沃尔巴已经从三阶阶梯分子合成了分子的莫比乌斯带，他让我直接观察从二阶阶梯分子合成的类似方法。得到的形状是手性的吗？如下图所示，它不是手性的，因为它可以转化为具有反射对称性的形状。
不幸的是，这个解释似乎对三阶莫比乌斯分子没有影响。沃尔巴经过多次思维实验后推测，变形为具有反射对称性的形状似乎是不可能的。如果变形后已经表现出反射对称性，那么他就会得出结论，三阶莫比乌斯形状可以变形为它的镜像。但是，这种反转正确吗？任何未能表现出反射对称性的变形都意味着分子本身不能变形为其镜像？
麻烦的是答案太简单了。沃尔巴让我考虑两只橡胶手套，一只右手用，一只左手用。
手套明明是镜像，但是从拓扑学的角度来看，它们是等价的吗？当然，手套在刚性上是不等价的，因为如果我们像字母R一样翻转两个手套中的一个来得到镜像，那就不行了。然而，如果我们把任何一只手套翻过来，我们可以使手套等价。
(拓扑学家因此发现自己处于一个奇怪的位置，他们既不能认为手套是右手的，也不能认为手套是左手的。)手套从里到外翻的过程中，任何一步手套都不具备反光对称性。
我们也许可以得出结论，手套是一个反例:一个形状在拓扑上等价于它的镜像，但它在变形过程中不具有反射对称性。这个结论可能是错误的。只是我们对手套的变形不够。如果我们把手套拉开，至少在理论上，手套可以变形为圆盘的形状，然后手套具有反射对称性(任意直径方向的反射对称性)。
以上讨论的主要观点是沃尔巴在化学方面的研究向拓扑学家提出了一个重要问题:如果一个形状在变形过程中不能具有反射对称性，是否可以从拓扑学的角度得出该形状本身不等价于其镜像的结论？这是一个基本的问题，但是在数学文献中，似乎还没有人提出来。
整个问题涉及到一个重要的哲学问题:物理科学中的新概念是否经常启发数学中的新概念？还是反过来？换句话说，物理科学和数学哪个先出现？很多哲学家都遇到过这个问题，这和众所周知的先有鸡还是先有蛋的问题是一样的。答案似乎不尽人意。
在这两种情况下，人们得出的结论似乎并不是无可辩驳的证据，而是有目的的实验。一些追随柏拉图的武断的数学家断言他们的学科脱离了物理学的现实。他们相信，即使没有可以计数的物体，数字也会存在。不那么固执的数学家承认科学和数学联系紧密，但他们坚持数学第一。他们提出群论作为证据。群论是数学的一个分支，诞生于19的20世纪30年代。它完全没有物理用途，最近才被粒子物理学家应用于研究过去20年发现的亚原子粒子集。
然而，物理学家认为他们的学科是第一位的，历史站在他们一边。比如艾萨克。6?牛顿创建了微积分这个著名的数学分支，因为他需要一个数学工具来分析微小的空间和时间间隔。在我看来，数学和科学是相辅相成的，这是唯一公平的结论，尽管这一判断既不鼓舞人心，也不翔实。莫比乌斯带的故事很好地说明了数学和物理科学之间复杂而又相互促进的关系。1858论文大赛中提出的莫比乌斯带，只建立了纯数学，现在在化学中有了发展，被化学家们熟练运用，给纯理论的数学家提出了很多问题。
你可以感到欣慰的是，莫比乌斯带不仅可以为化学家服务，也可以为实业家服务。B.F. Goodrich公司获得了莫比乌斯传送带的专利权。在普通传送带中，皮带的一侧会有更多的磨损。在莫比乌斯带中，应力可以分布到“两侧”，可以使其使用寿命提高一倍。
莫比乌斯(Mobius，1790 ~ 1868)简介
德国数学家和天文学家。1790 165438+10月17出生于瑙姆堡附近的舒尔普夫塔，1868于9月26日在莱比锡去世。从65438年到0809年，他进入莱比锡大学学习法律，然后转到数学、物理和天文学。1814获得博士学位，1816担任副教授，1829当选柏林科学院院士，1844担任莱比锡大学天文学和高等力学教授。
莫比乌斯的科学贡献涉及天文学和数学。他领导建立了莱比锡大学天文台，并担任其主任。他因发表《行星遮挡的计算》而受到天文学家的称赞，还撰写了《天文原理》、《天体力学基础》等天文著作。在数学方面，莫比乌斯发展了射影几何的代数方法。在主要著作《重心的计算》中，他独立于J. Pluck等人建立了代数射影几何的基本概念——齐次坐标。在同一本书中，他还揭示了对偶原理与极坐标的关系，并对交比概念进行了完美的处理。莫比乌斯最著名的数学发现是以他命名的单边曲面——莫比乌斯带。此外，莫比乌斯还对拓扑学的其他数学分支做出了重要贡献，如球面三角形。
一堂有趣的数学活动课
-制作神奇的莫比乌斯带
班会主题:上周五上午，郑老师下课后在黑板上写下了“神奇的莫比乌斯带(数学活动课)”。一天中午，我们全班都在好奇的期待着这堂课。
年级:初三
活动目标:南京琅琊路小学“科技月——手动”。
1.让我们认识一下莫比乌斯带，学习把长方形的纸条做成莫比乌斯带。
2.引导我们通过思考和运算发现和验证莫比乌斯带的特征，培养我们大胆猜测和探索的精神。
3.在莫比乌斯的神奇变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学的视野，进一步激发我们学习数学的兴趣。
活动准备:准备剪刀、胶带、彩笔、三张长方形彩纸。
活动流程:
首先，制作莫比乌斯带
手动操作:可以首尾相连形成一个圆圈。
(此图来自网络)
我们把2号纸拿出来，先做成普通的纸圈，然后把一端翻过来180，再用胶带粘上。这样就完成了只有一个面和一个边的纸圈。
你知道这样一个纸圈的名字吗？这就是神奇的莫比乌斯带。它是德国数学家莫比乌斯在1858年偶然发现的，因此以他的名字命名为“莫比乌斯带”。有人称之为“莫比乌斯圈”，也有人称之为“怪圈”。
第二，研究莫比乌斯带
莫比乌斯带到底有多神奇？下面我们就用“切割”的方法来研究。
老师先拿出平时用的纸圈，问，如果沿着纸带中间剪，会怎么样？(老师开始剪，学生观察验证。)请仔细观察老师是怎么切的？(分成两个独立的纸环)
(1) 1/2剪切莫比乌斯带
1.现在，老师拿出莫比乌斯带，我们也用剪刀沿着中线把莫比乌斯纸圈剪开。老师让我们猜它会是什么样子。
2.请自行验证。
3.我们按照老师的示范做了，验证了结果:变成了一个更大的圈子。
你说魔法吗？
(2) 1/3剪切莫比乌斯带
1，我们把3号笔记拿出来做一个莫比乌斯带。
2.如果我们想沿着平分线切，猜:多少次？切割的结果会是什么？
3.我们开始手术，我和同桌配合帮忙。
4.验证结果:一个大圆圈被一个小圆圈覆盖。
三、在生活中的应用
莫比乌斯带不仅好玩，还应用到生活的方方面面。
1，过山车:有些过山车在跑道上使用的是莫比乌斯原理。
(此图来自网络)
2.莫比乌斯爬梯子
中国科技馆的标志性物件由莫比乌斯带演变而来。
(此图来自网络)
通过今天的课，我们感到莫比乌斯带充满了神秘。有些问题老师不清楚。父亲告诉我，数学上有一本书专门研究莫比乌斯带，叫拓扑学。这个现象也可以应用到很多生活中。
我们用绳结做类比。看下图，如果我们把它当成一架飞机。
在曲线上，然后好像自己相交，然后好像断成三段。但是
其实很容易理解，这个图形其实是三维空间中的一条曲线，它并不与自身在一起。
相交且连续的曲线。平面上的曲线自然做不到这一点。
样本，但如果有第三维度，它可以穿过第三维度，以避免与自身相交。
只是因为要在二维平面上画，所以只好凑合着画，画成一个相。
交叉或断裂。克莱恩瓶也是一样，其实是四维的。
中间的表面。在我们的三维空间中，即使是最杰出的工匠，也
必须使它与自身相交；就像最杰出的画家一样，他在纸上画出了曲折。
当你打结的时候，你必须把它们拉进各自的交叉点。题图是玻璃做的图
吹制克莱因瓶。
这个创意时钟看起来像一个神奇的莫比乌斯圈。它由三个外圈组成，每个面用来显示时间数字。除了独特的创意扭曲，设计师还特别准备了方便的午睡模式。闹钟响的时候，只要把它翻过来，它就会关掉闹钟，进入午睡模式，非常方便。设置时钟时间的操作方法类似。