人教版三年级上册是一篇如何教时代的教学论文。
从很多发表的文章中可以发现，大部分老师都把“倍”作为一个描述两个量之间关系的表达式，其数学核心思想是:用一个量来描述另一个量。“倍”表示两个量之间的比较关系，其前提和基础是两者的比较，关键是以一个量为标准，把其中一个量分成相同的部分。【1】“次”是学生第一次描述两个量之间的关系，从绝对量的比值到相对量的关系。对中高年级将要接触到的“分数”、“百分数”、“比值”乃至未来函数的学习起着至关重要的作用。有老师认为“次”是描述两个量之间关系的多种方式之一，与其他描述方式属于同一位置，应与多种描述方式联系起来，将“次”的方式准确地纳入表达关系的知识体系中。
目前从目前的研究情况来看，一线教师大多是在“关系”的层面上理解“时代”。北京教育学院的刘家峡老师认为“时代”是从加法结构到乘法结构的转折点。小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，而乘法结构是以加法结构为基础的高级数学认知结构。乘法结构不是单一的认知乘法，而是一个概念体系。基本概念是乘除法，以及倍数、最大公因数、最小公倍数、运算法则和偶面积、体积、表面积、速度等相关概念和规律。[2]从目前的情况来看，从乘法结构的角度进一步研究“时代”，未必是一个新的研究方向。我们可以从乘法结构着眼于“时代知识”，也可以从“时代知识”辐射到乘法结构。
二、教师在教学中注意什么？
(一)学生学习的基础
美国著名认知心理学家奥苏贝尔说:“如果非要我把教育心理学归结为一个原理，我会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道的东西，我们应该根据他们原有的知识进行教学。”教学时，一线教师可以从学生已有的认知出发，帮助学生建立新旧知识的联系。教材中的“倍”的概念是基于乘除法知识中的“几倍”和“份”的概念。通过两个数的比较，由“份”引申出“倍”，让学生初步理解“倍”的含义，这是学生认识“倍”的基础。【3】理解“倍”的含义，就是让学生把乘法意义上的“几倍”与“几倍”这一新知识联系起来。教师应引导学生利用已有的知识和经验理解概念的本质，建立新旧概念之间的联系，以促进知识的有效迁移。
(二)教学情境
北师大教材以快乐动物为情境，通过一系列问题引导学生逐步比较不同动物的数字，从而理解“倍”的概念。人教版教材让学生在用木棒拼图形的过程中，建立“时间”的概念。在实际教学中，老师进一步将其转化为各种有趣的情境，有的从猜谜游戏开始，有的用拍手歌激发兴趣，有的先放不同颜色的图片再发现数量关系的问题，有的比较不同事物的数量关系，有的比较物体的长度关系，有的创设挑战三个卡通人物带来的数学难题的情境，等等。无论是哪种问题情境，目的都是让学生在自己感兴趣的情境中获得积极的情感体验，在感受数学魅力的同时掌握“倍”的概念。
(三)从关系上，理解“时代”的含义
如前所述，大部分老师把“倍”看作是描述两个量之间关系的表达式。因此，教师往往通过研究关系来理解“时代”的含义。例如，北京海淀教研室的郭立军老师在教学中首先展示了三个红色圆盘和三个黄色圆盘，并问这两个圆盘的数量之间有什么关系。然后加上三个黄盘，让学生说说三个红盘和六个黄盘的关系。学生首先会发现多少的关系，然后老师会慢慢引导学生从多少的关系过渡到倍数的关系，也就是让学生的思维从加法结构上升到乘法结构。
(四)注重动手操作，利用绘画表现促进对“时代”的理解
老师一般会引导学生画一张图，比较比较等。，触发和激活学生头脑中原有的认知，使之显性化；然后引导学生讨论交流，从“时代”的角度初步理解“时代”的含义。根据认知心理学，概念的形成可以概括为两个阶段，即从完全表征到抽象概念，抽象概念在思维过程中的具体表征得以实现。在这两个必要的转化中形成完整的表象是最重要的环节。但由于低年级学生表达能力的不足，学生通过绘画表征来表达自己的概念表征显得尤为重要。图画表征在物理操作和抽象思维之间架起了一座桥梁，让学生初步建立起“时间”在一个圆里的表征，并画出一幅图，有利于学生有效地表达自己的概念表征。
(五)在不断的比较和抽象中，逐步理解“时代”的含义
乌申斯基说:“比较是一切理解和一切思考的基础。正是通过比较，我们理解了世界上的一切……”学生通过画图等方式对“时代”有了初步的认识后，如何进一步理解“时代”这个概念？这就要求在不断的比较和抽象中抛弃各种非本质特征，在变化中把握“不变性”，而这种“不变性”就是它们的数量特征，也就是“时代”的本质。很多老师会设计多个对比环节，比如:一份不变，几份在变，倍数也会变；一份在变，几份也在变，但倍数不变。通过比较，引导学生逐步理清和把握概念的本质，使认知和理解更加深入。
三、对“时代”理解的新思考
虽然我们知道了“时代”的本质，知道了学生学习的基础，但学生理解“时代”还是有一定的难度。虽然学生可以分辨出谁是谁的时代，也可以用乘法来计算，但这并不意味着学生真正认识和理解了“时代”，应用起来还是会有很多困难。这首先是受孩子自身认知结构水平的影响。从加法结构到乘法结构，学生的认知结构需要经历一定程度的“质”的变化。时代的学习是质变的第一次机会。学生在学习倍时要经历从加法结构到乘法结构的过渡，认知结构的过渡是学生学习的最大难点。[4]其次，由于知识点本身的难度，“倍”不是单一的乘法结构，它是乘法意义的延伸，但也包含了除法意义的理解，这对于初次理解“倍”这个概念的学生来说，无疑会造成一定的困难。最近学校开展了“课堂观察”的研究。通过对一对一课堂师生的仔细观察，我们还发现学生在学习《时代》的过程中存在以下三个问题。
(一)学生不理解“关系”
现代汉语词典对“关系”一词的定义是:事物之间相互作用、相互影响的状态。我们在日常生活中经常用到这个词，这个词很容易理解，但是数学背景中用到的“关系”这个词，孩子并不理解。大多数学生听到老师的问题“他们之间是什么关系？”有时候听不懂，老师不妨就此打住，举个例子进一步解释，让学生更好地继续后面的学习。
(二)理解“时代”的概念不能只被观察。
通过对文献的梳理，我们发现很多一线教师让学生通过观察静态的东西，比如黑板上设置的教具或者画出来的简单图形，直接找到量与量之间的关系。老师在黑板上放六个红盘和三个白盘，学生会很快说6大于3或者3小于6，但是很难想到6里面有两个3，或者6是3的两倍，这恰恰说明孩子的认知从加法结构上升到乘法结构是非常困难的。学生如何自然过渡？通过尝试，我们发现“动手操作”是一种可行的方法。课前给学生准备一些挥杆学习工具，比如最简单的小圆纸。在放置学习工具的过程中，学生自然会产生分桩的想法(如下图)。他们会把三张白纸放入1堆，六张红纸放入两堆。这里的“堆”是“1份”或“65440份”。
为了让学生更好地理解“倍”，看清量的关系，很多老师在课堂上让学生圈一次，然后直接引出“倍”的概念。笔者觉得这可能有点太快了，对“时代”的理解需要一个时间的等待。我们不妨慢下来。当学生初步建立起“时代”的概念，就可以通过老师的指导开始摆姿势了。其实“1堆”和圈起来的“1份”可以达到同样的效果，动手摆造型会让学生理解“倍”
(三)“时代”难以表达
学生能说出谁是谁的几倍，也能通过乘法计算，但描述起来还是有很多困难。理解“时代”，要求学生理解“时代”的含义，学会表达“时代”。在表达“时代”时，不要急于给学生一个标准的表达形式，而要等待。根据学生年龄的特点，学生的理解能力先于学生的表达能力，所以我们认为学生表达不清是正常的。在表达“时代”的时候，可以尝试用绘画的方式多角度表达，加深理解。
“双重理解”课不是新课，但作为青年教师，我们需要有把它当作新课来研究的意识，需要站在前人的肩膀上思考、研究、创新的精神。