小学三个未知
方程的基本性质是1:方程两边同时加(或减)同一个数或同一个代数表达式，结果仍然是一个方程。
用字母表示:如果a = b，c是一个数或一个代数表达式。然后:
〔1〕a+c=b+c
〔2〕a-c=b-c
方程的基本性质2:方程两边乘以或除以同一个不为0的数的结果仍然是方程。
3如果a=b，那么b=a(方程的对称性)。
4若a = b，b = c，则a=c(方程的传递性)。
方程的一些概念
方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程:解方程的过程叫做解方程。
移动项:改变方程中某些项的符号后，它们从方程的一边移动到另一边。基于方程1的基本性质，这种变形被称为移位项。
有积分方程和分数方程。积分方程:代数表达式方程两边都有未知数的方程叫积分方程。
分数方程:分母中有未知数的方程称为分数方程。
[编辑本段]一元线性方程
人教版会学五年级数学上册第四章，河北教版会学七年级数学下册第七章，江苏教版会学五年级数学第一章。
定义:只有一个未知数且未知数为1的积分方程称为一元线性方程。通常的形式是kx+b=0(k，b为常数，k≠0)。
通用解决方案:
1.分母方程两边同时乘以每个分母的最小公倍数。
4.一般先去掉括号，再去掉中括号，最后去掉大括号。但有时可以根据情况确定顺序，使计算简单。根据乘法分布定律。
3.把有未知数的项移到方程的另一边，把其他项移到方程的另一边时别忘了换符号。
4.合并相似项将原方程转化为ax=b(a≠0)的形式。
⒌系数:等式两边同时被未知数除的系数。
求方程的解。
同解方程:如果两个方程有相同的解，则称为同解方程。
方程的同解原理；
方程两边加或减相同的数或相同的方程得到的方程是与原方程相同的解方程。
2.方程两边不为0的同一个数相乘或相除得到的方程是与原方程相同的解方程。
解决一元线性方程应用问题的重要方法:
1.仔细审题。
对已知和未知量的分析。
【13】找等价关系。
4.设一个未知数。
⒌序列方程
解方程。
检查(焦)
⒏写了一封回信
教学设计示例
教学目标
1.使学生掌握用线性方程解决简单应用题的方法和步骤；并且会列举一维线性方程组求解的简单应用问题；
2.培养学生的观察能力，提高分析问题和解决问题的能力；
3.使学生养成正确思考的好习惯。
教学重点和难点
用一元线性方程解简单应用题的方法和步骤。
课堂教学过程设计
一，从学生原有的认知结构提问
在小学算术中，我们学习了用算术解决实际问题的知识。那么，用一个线性方程能解决一个实际问题吗？如果能解决，怎么解决？用一元线性方程解决应用题与用算术方法解决应用题相比有什么优势？
为了回答这些问题，让我们看看下面的例子。
例1某数的3倍减2等于某数和4之和，所以求某数。
(首先用算术解决，学生回答，老师写在黑板上)
解1: (4+2) ÷ (3-1) = 3。
答:某个数字是3。
(其次，用代数方法解题，老师指导，学生口头完成。)
解法二:设某数为x，则有3x-2 = x+4。
求解得到x = 3。
答:某个数字是3。
看例题1的两个解法，很明显算术法不好想，但设未知数、列方程、解方程求应用题解的方法有一种化难为易的感觉，这也是学习用线性方程组解决应用题的目的之一。
我们知道方程是一个含有未知数的方程，方程代表一个相等的关系。所以，对于一道应用题中提供的任何一个条件，首先要从中找出一个相等的关系，然后把这个相等的关系表示成一个方程。
这节课我们将通过实例讲解如何求一个相等关系，以及将这个相等关系转化为方程的方法和步骤。
二、师生分析研究用一元线性方程解决简单应用题的方法和步骤。
例2在面粉仓库中储存的65，438+05%的面粉被运出后，还剩下42，500公斤。这个仓库里有多少面粉？
* * *师生分析:
1.本题给出的已知量和未知量分别是什么？
2.已知量和未知量的相等关系是什么？(原始重量-装运重量=剩余重量)
3.如果原面粉有X公斤，面粉可以表示多少公斤？利用上面的等式关系，如何公式化方程？
上述分析过程可以列举如下:
解:假设有x公斤面粉，那么15% x公斤运出。
x-15%x=42 500，
所以x = 50,000。
答:以前有5万公斤面粉。
至此，让学生讨论:本题中除了上述平等关系的表述外，还有其他表述吗？如果有，是什么？
(还有，原始重量=装运重量+剩余重量；原始重量-剩余重量=装运重量)
老师要指出的是:(1)这两个相等关系的表述与“原重量-出货重量=剩余重量”不同，但本质是一样的，可以任意选择其中一个组成方程；
(2)例2的方程求解过程比较简单，学生要注意模仿。
根据例题2的分析求解过程，首先请大家思考一下通过制作一元线性方程解决应用题的方法和步骤。然后，通过提问给予反馈；最后，根据学生的总结，老师总结如下:
(1)仔细审题，透彻理解题意，即明确已知量、未知量及其关系，在题中用字母(如X)表示一个合理的未知量；
(2)根据题意，找到能表达应用题全部含义的等价关系(这是关键一步)；
(3)根据等式关系，正确列出方程，即列出的方程要满足两边的量要相等；方程两边代数表达式的单位应该相同；问题中的条件要充分利用，一个条件都不能遗漏或重复使用。
(4)求解列出的方程；
(5)考完试把答案写清楚完整。这里要求的检验应该是检验得到的解既能使方程成立，又能使应用问题有意义。
附:列方程时让方程两边相等。
[编辑本段]二元一次方程(组)
人教版将在下册学习七年级数学，河北教育版将在下册学习七年级数学第九章。
二元一次方程的定义:指数为1的二元一次积分方程称为二元一次方程。
二元线性方程组的定义:两个含有两个未知数的线性方程组称为二元线性方程组。
二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值称为二元一次方程的解。
二元线性方程组的解:二元线性方程组的两种常见解称为二元线性方程组的解。
通解、消元:将方程组中的未知数由多到少，逐一求解。
有两种方法可以消除元素:
代入消元法
例:解方程组x+y = 516x+13y = 89②。
解法:从x=5-y③的①取③到②，得6(5-y)+13y=89，得y=59/7。
将y=59/7带入③得到x=5-59/7，即x=-24/7。
∴x=-24/7,y=59/7
这种解决方法就是替代消去法。
加减消元法
例:解方程组x+y=5① x-y=9②。
解:①+②，2x=14，即x=7。
把x=7带入①，得7+y=5，得y=-2。
∴x=7,y=-2
这个解就是加减消元。
二元线性方程组有三种解法:
1.有一套解决办法。
比如方程组X+Y = 5 16x+13Y = 89 ②的解是x=-24/7，y=59/7。
2.有无数的解决方法。
比如方程组X+Y = 612x+2Y = 12②，因为这两个方程实际上是一个方程(也叫“方程有两个相等的实根”)，所以这个方程组有无数组解。
3.无解
比如方程组X+Y = 412x+2Y = 10②，因为简化方程②是x+y=5，与方程①矛盾，所以这类方程组无解。
[编辑本段]三元一次方程
定义:类似于二元一次方程，三个组合的一次方程包含三个未知数。
三元线性方程组的解法:与二元线性方程组类似，采用消元法逐步消元。
典型问题分析:
为鼓励某地区节约用水，自来水收费标准如下:每户每月用水量不超过10吨的，按0.9元/吨收取；超过10吨不超过20吨的，按1.6元/吨收取；超过20吨的部分按2.4元/吨收取。一个月内，用户A比用户B多付16元，用户B比用户C多付7.5元，已知用户C用水不足10吨，用户B用水超过10吨但不足20吨。问:用户A、B、C每个月交多少水费(按整吨计算)？
解法:假设甲方用水x吨，乙方用水y吨，丙方用水z吨。
显然，用户A使用了超过20吨的水。
因此，甲方付款:0.9 * 10+1.6 * 10+2.4 *(x-20)= 2.4x-23。
支付:0.9 * 10+1.6 *(Y-10)= 1.6Y-7。
丙付款:0.9z
2.4x-23=1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
简化
3x-2y=40 - (1)
16y-9z=145 - (2)
X=(2y+40)/3 from (1)
所以让y = 1+3k，3
当k = 4，y = 13，x = 22时，代入(2)得到z=7。
当k=5，y=16，代入(2)，z无整数解。
当k=6，y=19，代入(2)，z无整数解。
因此，甲用水22吨，乙用水13吨，丙用水7吨。
甲方用水量为29.8元，乙方用水量为13.8元，丙方用水量为6.3元
[编辑本段]一元二次方程
人教版会学九年级数学上册，河北教版会学九年级数学第二十九章。
定义:一个积分方程有一个未知数，未知数的最高次为2。这样的方程叫做一元二次方程。
从一次方程到二次方程的转化是一个质变。通常情况下，二次方程在概念和解法上要比一次方程复杂得多。
一般形式:ax ^ 2+bx+c = 0(a≠0)
有四种通用解决方案:
公式法(直接开平法)
4.匹配方法
[14]交叉乘法。
阶乘分解法
由于本人精力有限，不举例说明如何解决。希望有人能帮忙。
1，直接开平法:
直接开平法是用直接平方根求解一元二次方程的方法。用直接开平法求解(x-m)2=n (n≥0)
解为x = m的方程.
示例1。解方程(1)(3x+1)2 = 7(2)9 x2-24x+16 = 11。
解析:(1)这个方程用直接拉平法显然很好做，(2)方程左边完全平坦(3x-4)2，右边= 11 >；0，所以
这个方程也可以用直接开平法求解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴ 3x+1 =(注意不要丢失解决方案)
∴x=
∴原方程的解是x1=，x2=。
(2)解法:9 x2-24x+16 = 11。
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=
∴x=
∴原方程的解是x1=，x2=。
2.匹配法:用匹配法求解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。
首先，将常数c移到等式的右边:AX2+BX =-C
将二次项转换为1: x2+x =-
方程两边加上一阶系数一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2。
等式左边变成了完全平坦的方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+=
∴x=(这是根公式)
例2。用匹配法求解方程3x2-4x-2=0
解法:将常数项移到等式3x2-4x=2的右边。
将二次项系数化为1: x2-x =
方程两边加上一阶项系数的一半的平方:x2-x+( )2= +( )2。
公式:(x-)2=
直接平方:x-=
∴x=
原方程的解是x1=，x2=。
3.公式法:将一元二次方程转化为一般形式，然后计算判别式的值△=b2-4ac。b2-4ac≥0时，放各项。
将系数A、B、C的值代入公式x=(b2-4ac≥0)得到方程的根。
例3。用公式法求解方程2x2-8x=-5
解法:把方程变成一般形式:2x2-8x+5=0。
∴a=2，b=-8，c=5
B2-4ac =(-8)2-4×2×5 = 64-40 = 24 & gt；0
∴x= = =
原方程的解是x1=，x2=。
4.因式分解法:将方程变形为一边为零的形式，将另一边的二次三项式分解为两个线性因子的乘积，这样，
两个线性因子分别等于零，得到两个线性方程组。求解这两个线性方程组得到的根是原方程组中的两个。
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解。
例4。通过因式分解求解下列方程:
(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2 x2+3x = 0
(3) 6x2+5x-50=0(可选研究)(4)x2-2(+)x+4=0(可选研究)
(1)解法:(x+3)(x-6)=-8简化排序。
X2-3x-10=0(该方程左边是一个二次三项式，右边是零)。
(x-5)(x+2)=0(等式左侧的因式分解因子)
∴x-5=0或x+2=0(转换成两个线性方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
X(2x+3)=0(通过提高公因数来因式分解等式的左侧)
∴x=0或2x+3=0(转换成两个线性方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意:有些同学在做这类题时容易丢失x=0的解。应该记住，一元二次方程有两种解法。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0(通过交叉乘法进行因子分解时，应特别注意符号)
2x-5 = 0或3x+10=0。
∴x1=，x2=-是原方程的解。
(4)解法:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4可分解为2.2，∴此题可因式分解)。
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2，x2=2是原方程的解。
二元二次方程:含有两个未知数的积分方程，未知数的最高次为2。
[编辑此段]注意
一般来说，n个未知数的线性方程是未知项数为1的方程，线性项的系数不等于0。
N维线性方程组是由若干个N维线性方程组组成的方程组(一维线性方程组除外)；
一维A次方程是含有一个未知数且未知项的最高次为A的方程(一维线性方程除外)；
一维A次方程是由若干个一维A次方程组成的方程(一维线性方程除外)；
N维A次方程是含有N个未知数且未知项的最高次为A的方程(一维线性方程除外)；
N维A次方程是由若干个N维A次方程组成的方程(一维线性方程除外)；
在方程(组)中，未知数比方程多的方程(组)称为不定方程(组)，这样的方程(组)一般有无数个解。