六年级小学数学知识点大全第一册[unit 1-7]
第一单元分数乘法
一.分数乘法
(一)小数乘法的意义:
1，分数乘整数和整数乘的意思一样。是寻找几个相同加数之和的简单运算。
比如:65×5表示五个65的和是多少？1/3×5的意思是五个1/3的和是多少？
2.一个数乘以一个分数的意思就是求一个数的分数。
比如1/3×4/7就是1/3的4/7是多少。
4×3/8意味着4的3/8是多少。
(2)、小数乘法的计算规则:
1，分数与整数相乘:分子与整数相乘的乘积为分子，分母不变。(整数和分母除数)
2.分数和分数乘法:用分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母。注意:与分数相乘时，分数在计算前要转换成假分数。
3.为了计算简单，能减的点先减，再计算。(尽量切点，不切点就不切点。经常考的质因数是11×11 = 121；13×13=169;17×17=289;19×19=361)
4.小数乘以分数。可以先把小数转换成分数，也可以把分数转换成小数再计算(建议小数再计算)。
(3)、乘法中的比较大小定律
一个数(0除外)乘以一个大于1的数，乘积大于这个数。
一个数(0除外)乘以一个数(0除外)小于1，乘积小于这个数。
一个数(0除外)乘以1，乘积等于这个数。
(4)分数混合运算的运算顺序与整数相同。整数乘法的交换律、结合律、分配律也适用于分数乘法。
乘法交换律:a × b = b × a
乘法结合律:(a × b )×c = a × (b × c)
乘法分配律:(a+b )×c = a c+b c
二、解决分数乘法问题(知道单位“1”的量(乘)，即单位“1”的分数是多少)
1.画一个线段图:(1)两个量的关系:画两个线段图，先画一个单位量，注意两条线段的左边对齐。(2)局部与整体的关系:画线段。
2.找到单位“1”:单位“1”在费率句中的费率前面；
或者在“占”、“是”、“比”、“相当”后面。
3.写作数量关系的技巧:
(1)“的”相当于“X”，“占”，“相当”，“是”，“比”都是“=”
(2)分数前有“的”字:以“1”为单位的量×分数=具体量。
比如数字A是20，那么数字A的1/3是多少？公式为:20×1/3
4.看评分率之前是多还是少的问题；“或多或少”的关系在分数之前:
(小于):“1”的数量×(1-小数)=具体数量；
比如A数是50，B数比A数少1/2，B数是多少？
公式为:50×(1-1/2)
(比):“1”的量×(1+分数)=具体量。
比如小红有30元起的钱，小明比小红多3/5。小红有多少钱？
公式为:50×(1+3/5)
3.一个数字是多少倍？用一个数×几次；
4.求一个数的分数:用一个数×分数。
5.分数是多少？用分数×数。
6.如何求出一个已知零件和另一个零件的总量的分数:
(1)，单位数量“1”×(1-小数)=另一部分数量(推荐)。
(2)单元“1”的数量-占单元“1”的几个分数的已知部分数量=所需部分数量。
比如在15页做，练习课本16页第七题(有时题中会有“其中”这个关键词)。
第二单元的位置和方向(2)
一、确定物体位置的方法:1，先找观测点；2.重新确定方向(看方向的夹角程度)；3、最后确定距离(见比例尺)
二、描述路线图的关键是选择观测点，建立方向标记，确定方向和距离。
三、位置关系的相对性:1，两地的位置是相对的。在描述两地的位置关系时，观察点不同，叙述方向正好相反，程度和距离正好相同。
四、相对位置:东西向；南北向；南偏东-北偏西。
第三单元分数除法
第三，倒计时
1和倒数的意义:乘积为1的两个数互为倒数。
强调:倒数，即倒数是两个数之间的关系。它们相互依存，互惠不能单独存在。(说清楚谁是谁的倒数)。
2、对等法:
(1)，求分数的倒数:交换分子分母的位置。
(2)求整数的倒数:把一个整数看成一个分母为1的分数，然后交换分子的分母的位置。
(3)求波段分数的倒数:把波段分数变成假分数，然后求倒数。
(4)求小数的倒数:把小数变成分数，然后求倒数。
3.1的倒数是1；因为1×1 = 1；0没有倒数，因为0乘以任何数都得0(分母不能是0)。
4.真实分数的倒数大于1；虚假分数的倒数小于等于1；分数的倒数小于1。
5.用，a×2/3=b×1/4求出a和b是什么。A×2/3=b×1/4视为等于1，即计算2/3的倒数和，计算1/4的倒数。
1，小数除法的意义:
乘法:因子×因子=乘积
除法:产品/一个因子=另一个因子
分数除法和整数除法的意思一样，都是指知道两个因子和其中一个因子的乘积，求另一个因子的运算。
比如1/2÷3/5的含义就是已知两个因子的乘积是1/2，一个因子是3/5，求另一个因子的运算。
2、分数除法的计算规则:
除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数。
3、分数除法定律比较大:
(1)当除数大于1时，商小于被除数；
(2)当除数小于1(不等于0)时，商大于被除数；
(3)当除数等于1时，商等于被除数。
“[]”称为括号。在一个方程中，如果既有括号又有括号，就要先数括号，再数括号。
二，分数除法解决问题
1，解:(1)方程:根据数量关系设未知量为X，用方程求解。
解法:设未知量为X(必须求解)，然后设方程为X×分数=特定量。
比如公鸡20只，就是母鸡数量的1/3。有多少只母鸡？(单位1为母鸡数量，单位1未知。)解法:假设有X只母鸡。列方程为:X×1/3=20。
(2)算术(除以):如果单位“1”的量未知，则除以除法:
即已知单位“1”的几分之一，求单位“1”的量。
对应零头金额÷对应零头金额=单位“1”
比如公鸡20只，就是母鸡数量的1/3。有多少只母鸡？(单位1为母鸡数量，单位1未知。)除以公式:20÷1/3。
2.看看有没有比之前分数多或者少的问题；
“或多或少”的关系在分数之前:
(小于):具体数量÷ (1分钟率)=单位“1”中的数量；
比如桃树有50棵，比苹果树少1/6。有多少棵苹果树？
公式为:50(1-1/6)
(比多):具体数量÷ (1+分数)=单位“1”。
比如某商品现在80元，比原价高出1/7。原价是多少？
公式为:80÷(1+1/7)
3.求一个数是另一个数的几分之一:用一个数除以另一个数，结果写成分数。
比如男生20，女生15，女生人数占男生人数的零头。
公式为:15÷20=15/20=3/4。
4.如何计算一个数字比另一个数字多多少:
用两个数的差量÷单位“1”的量=分数。
即①求一个比另一个数多的分数:用(大数——小数)÷另一个数(除以那个数)，结果写成分数。
比如5比3多多少？(5-3)÷3=2/3
(2)求一个数比另一个数少多少个分数:用(大数——小数)÷另一个数(除以那个数)，结果写成分数。
比如3比5少多少？(5-3)÷5=2/5
注:多几分不代表少几分，因为单位不一样。
5.工程问题:以总工作量为“1”的单位，完成一个项目需要多长时间就是1 ÷效率，即1÷(工作效率=1/时间)。
比如一个项目要5天完成，10天完成，3天完成，三个人能完成多少天？公式:1÷(1/5+1/10+1/3)
第四单位比率
(一)、比率的含义
1，比值的含义:两个数的除法也叫两个数的比值。
2.在两个数的比值中，比较符号前的数称为比值的前一项，比较符号后的数称为比值的后一项。前一项除以后一项所得的商称为比值。
比如15:10 = 15÷10 = 3/2(比值通常表示为分数，也可以表示为小数或整数)。
15 ∶ 10 = 3/2
前一项与后一项的比率。
3.比值可以表示两个相同量之间的关系，即倍数关系。《出埃及记》:长度是宽度的几倍。
你也可以用两个不同量的比值来表示一个新的量。例如:距离-速度=时间。
4.辨别率和比率
比值:表示两个数之间的关系，可以用比值的形式书写，也可以用分数表示。
比:相当于商，是一个数，可以是整数，可以是分数，也可以是小数。
5.根据分数和除法的关系，两个数之比也可以写成分数。
6、比值与除法、分数的关系:
前一项与后一项之比为“:”
除数除数除数商
分数分割线“-”分数值
7.比与除、分数的区别:除是一种运算，分数是一个数，比代表两个数之间的关系。
8.根据比与除法、分数的关系，可以理解为比的后一项不能为0。
9.体育比赛中，两队比分2: 0等。这只是计分的一种形式，并不代表两个数的除法。
10，求比值:后一项除以前一项，结果写成分数(不减分就不减分)。
例如:15:10 = 15÷10 = 15/10 = 3/2。
(二)，比率的基本性质
1，根据比、除、分数的关系:
商不变的性质:被除数和除数同时被同一个数相乘或相除(0除外)，商不变。
分数的基本性质:当分数的分子和分母同时被同一个数相乘或相除时(0除外)，分数的值保持不变。
比率的基本性质:比率的前几项和后几项同时被同一个数相乘或相除(0除外)，比率不变。
2.最简单的整数比:比的第一项和最后一项都是整数，都是质数，所以这个比是最简单的整数比。
3.根据比值的基本性质，比值可以化为最简单的整数比。
4.简化比率:
(2)采用计算比率的方法。注意:最后的结果要用比值的形式写。
例如:15:10 = 15÷10 = 15/10 = 3/2 = 3:2。
也可以15:10 = 15÷10 = 3/2。最简单的整数比是3: 2。
5.如果比率中有单位，那么简化计算比率时单位应该是一样的，结果是没有单位。
6.比例分配:按照一定的比例分配一个数量。这种方法通常被称为比例分配。解决问题一般有两种方式。
1，用分数率求解:比例分配通常以总量为单位一，即换算成分率。我们要先求出总份数，再求出多少份占总份数的几分之一，最后用总份数乘以几分之一。
比如有25克糖水，糖水比为1:4。糖和水分别有多少克？
1+4=5糖占1/5 25×1/5得到的糖量，水占4/5 25×4/5得到的水量。
2、同数解法:首先要搞清楚总份数，然后搞清楚每份是多少，最后搞清楚是多少份。
比如有25克糖水，糖水比为1:4。糖和水分别有多少克？
糖和水的个数是1+4=5，一个是25÷5=5。糖的个数是1，就是5×1，水的个数是4，就是5×4。
第五单元圆的理解
第一，了解圈子
1.圆的定义:圆是由曲线包围的平面图形。
2.圆心:将一张圆形的纸对折两次，折痕相交于圆心的一点，称为圆心。通常用字母o表示。它到圆上任何一点的距离都是相等的。
3.半径:连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径。一般用字母r表示，把指南针的两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4.直径:两端在圆上通过圆心的线段称为直径。一般用字母d表示，直径是圆中最长的线段。
5.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
6.在同一个圆或一个等圆里，有无数个半径和无数个直径。所有半径相等，所有直径相等。
7.在同一个或相等的圆内，直径的长度是半径的两倍，半径的长度是直径的1/2。用字母表示:d=2r或r=d/2。
8.轴对称图形:如果一个图形沿直线对折，两边的图形可以完全重叠，这个图形就是轴对称的。折痕所在的直线称为对称轴。
9.长方形、正方形和圆形是对称的图形，它们都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
对称轴为10且只有1的图形有:角形、等腰三角形、等腰梯形、扇形和半圆形。只有两个对称轴的图形有:矩形；只有三个对称轴的图形是:等边三角形；只有四个对称轴的图形是:正方形；有无数对称轴的图形有:圆和环。
11.用铅笔画对称轴，同时用尺子画一条虚线(三角形)。这条虚线的两端应该稍微超出图形。
第二，圆的周长
1，圆的周长:环绕圆的曲线的长度称为圆的周长。它用字母c来表示。
2.圆周率实验:(滚法)在圆纸上做一个记号，对准直尺0的刻度，在直尺上滚一次，得到圆的周长。或者用一根金属丝测量出绕在圆纸上的金属丝的长度，就是圆的周长(绳测法)。
发现圆的周长与直径之比(周长除以直径)是一个定数，也就是三倍多一点。我们称之为圆周率，用字母π表示。
3.圆周率:任何圆的周长与直径之比是一个固定的数，我们称之为圆周率。用字母π(pai)表示。世界上第一个计算圆周率的人是中国数学家祖冲之。
(1)，一个圆的周长总是大于其直径的3倍，这个比值是一个固定的数。Pi π是一个无限非循环小数。计算中，一般取π ≈ 3.14。
(2)判断时，圆的周长与直径之比是π倍，而不是3.14倍。
4.圆的周长公式:圆的周长等于圆周率乘以直径，C= πd用字母表示。
(1)，已知一个圆的周长除以圆周率，圆周率用字母表示。
d = C÷π或者圆的周长等于2倍π乘以半径，C=2πr用字母表示。
(2)用圆周率除以圆周率的两倍，求出已知圆的周长的半径。
用字母表示r = C ÷ 2π(r = C/2π)。
5.在正方形里画一个圆，圆的直径等于正方形的边长。在长方形里画一个圆。圆的直径等于矩形的宽度。
6.区分半圆的周长和半圆的周长:
(1)，半周长:等于一个圆的周长÷2。
计算方法:2π r ÷ 2，即C半= π r。
(2)半圆的周长:等于圆周的一半加上直径。计算方法:半个圆的周长=5.14 r(推导过程C half = 2πr÷2+D =πr+D =πr+2R = 5.14R)。
第三，圆的面积
1，圆的面积:圆所占平面的大小称为圆的面积。它用字母s来表示。
2.圆面积公式的推导:(1)一个圆分成的扇形部分越多(偶数)，镶嵌图像越接近矩形。矩形的长度相当于圆周的一半，矩形的宽度相当于圆周的半径。
(2)拼出来的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=矩形的宽度
圆周的一半=矩形的长度。
3.圆形面积的计算方法:因为:矩形面积=长×宽。
所以:圆的面积=圆周的一半×圆的半径。
即s圆= c ÷ 2× r = π r× r = π r。
圆的面积公式:S圆=πr → r = S圆÷π。
4.环的面积:一个环，外圆半径用字母R表示，内圆半径用字母R表示..(R=r+环的宽度。)
S环= πR -πr或环的面积公式:S环= π(R -r)(推荐此公式)。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小同样的倍数。并且面积以该倍数的倍数扩大或缩小。
比如同一个圆，半径扩大3倍，直径和周长扩大3倍，面积的平方扩大3倍得到9倍。
6.两个圆:半径比=直径比=周长比；而面积比等于这个比值的平方。
比如两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9。
7.任何正方形的面积与它的内切圆之比都是一个固定值，即4∶π。
8.当长方形、正方形和圆形的周长相等时，圆形和正方形的面积居中，长方形的面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。
9.常用π值的结果:π= 3.14；2π = 6.28 ;5π=15.7
10、外内圆(内切圆)公式S=0.86r推导过程:S=S正-S圆= d-πr = 2r×2r-πr = 4r-πr = r×(4-π)= 0.86 r。
11、外圆(外接圆)内侧公式S=1.14r推导过程:S=S圆-S正= π r-dr/2× 2 = 2r× r/2× r = π r-2r = r×
12，由一段圆弧和通过这段圆弧两端的两条半径围成的图形叫做扇形。顶点在圆心处的角度称为圆心角。扇形的面积与圆心角和半径有关。
13，S范=S圈×N/360；S扇形环=S环×n/360
14，扇形也是有对称轴的轴对称图形。
15，公共半径和直径的周长和面积的结果。
半径半径平方直径周长面积
1 1 2 6.28 3.14
2 4 4 12.56 12.56
3 9 6 18.84 28.26
4 16 8 25.12 50.24
5 25 10 31.4 78.5
6 36 12 37.68 113.04
7 49 14 43.96 153.86
8 64 16 50.24 200.96
9 81 18 56.52 254.34
10 100 20 62.8 314
1.5 2.25 3 9.42 7.065
2.5 6.25 5 15.7 19.625
3.5 12.25 7 21.98 38.465
4.5 20.35 9 28.26 63.585
5.5 30.25 11 34.54 94.985
7.5 56.25 15 47.1 176.625
第六单元百分比
一、百分数的含义和写法
(1)百分数的含义:表示一个数是另一个数的百分数。百分数是指两个数的比值，所以也叫百分比或百分数。
(2)、百分比和分值的主要联系和区别:
联系:两者都可以表达两个量的比例关系。
区别:①意义不同:百分数只代表两个数的倍数比，不能代表具体的量，所以不能带单位；
分数既可以表示一个具体的数，也可以表示两个数之间的关系，具体的数可以用单位来表示。
②百分比的分子可以是整数，也可以是小数；
分数的分子不能是小数，只能是0以外的自然数。
3、百分数的写法:通常不用分数形式书写，而是在原分子后加“%”来表示，读作%。
二、百分数和分数、小数的交换
(一)百分比和小数的交换:
1，小数成百分数:小数点右移两位(位数不足以凑成0)，末尾加几百个分号。
2.小数百分比:将小数点左移两位(位数不足以凑成0)，同时去掉百分号。
(B)互惠的百分比和分数
1，百分比化的成分数:先把百分比改写成一个分数，大写100，可以化简为最简单的分数。
2.分数占百分比:
(1)利用分数的基本性质，把分数的分母放大或缩小，把母为100的分数写成百分数的形式。
(2)将分数转换成小数(除无穷外，通常保留三位小数)，然后将小数转换成百分数。(建议使用这种方法)
(3)普通分数和小数百分数之间的相互转换；
第三，用百分数解决问题
(A)一般应用问题
1，常用百分比计算方法:
一般来说，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、百分比增幅能超过100%。
2.找出一个数是另一个数的百分之几，用一个数除以另一个数，把结果写成一个百分数。
比如男生20，女生15。有百分之多少的男孩是女孩？
公式为:15 ÷ 20 = 15/20 = 75%。
3.给定单位“1”的量(乘)，单位“1”是多少百分比？数量和分数乘法之间的关系是相同的:
(1)百分比前为“的”:单位“1”的数量×百分比=百分比对应数量。
(2%是“或多或少”的数量关系:
单位数量“1”×(1百分比)=百分比对应数量。
4.单位“1”未知(用除法)，已知单位“1”的百分之几，求单位“1”。方法与分数法相同。
求解:(1)方程:根据数量关系设未知量为X，用方程求解。
(2)算术(除以):百分比对应量÷对应百分比=单位“1”。
5.求比另一个数多(少)的百分数的方法与分数的方法相同。只有结果应该写成百分比。看有没有超过或者低于百分比的问题；
在百分比为“或多或少”之前:
(小于):具体数量÷ (1-百分比)=数量“1”；
比如大米有50公斤，比面粉树少50%，面粉有多少公斤。
公式为:50÷(1-50÷)
(必多):具体数量÷ (1+百分比)=单位“1”中的数量。
例如，工人制造了110个零件，比原计划多了10个。最初计划了多少部分？
公式为:110÷(1+10÷)
6.如何求一个数比另一个数多的百分数:方法同分数法。
用两个数之差÷单位“1”中的金额=百分之几？
即①求一个数比另一个数多的百分数:用(大数——小数)÷另一个数(除以那个数)，结果写成百分数。
A比B多多少？方法A，(A-B)-B(推荐)
方法B，A-B -100
比如老师计划改40个作业，实际改了50个，实际比计划多改了百分之几？
公式为:(50-40) ÷ 40 = 0.25 = 25%
(2)求一个数比另一个数少多少个分数:用(大数——小数)÷另一个数(除以那个数)，结果写成百分数。
B比A少多少？方法A，(A-B) A(推荐)
方法B，100-B-A
比如张三家用电100度，李四家用电90度，李四家用电比张三家少百分之几？
(100-90)÷100=0.1=10﹪
注:多百分之几不代表少百分之几，因为单位不一样。
7.如果A比B多或少，B比A少或多多少？使用A？(1 A？).
8.求价格下降A再上升A后的价格:1 × (1-a) × (1+A)(假设原价为“1”)。求变化幅度(降价后的价格占涨价后价格的百分比是多少)用1-降价后价格上涨的百分比。
第七单元:部门统计图
1.扇形统计图的意义:用整个圆的面积来表示总数，用圆内每个扇形的面积来表示每个部分的数量与总数的关系。即各部分在总数中所占的百分比(所以也叫百分比图)。
二、常用统计图的优点:
1，条形图:可以清楚的看到各种量的数量。
2.折线统计图:我们不仅可以看到各种数量的多少，还可以清楚地看到数量的增减。
3.部门统计图:能清晰地反映出各部分的数量与总量的关系。(将百分比写在统计图上)
三、扇形的大小:在同一个圆内，扇形的大小与这个扇形的圆心角大小有关。圆心角越大，扇形越大。(所以扇形面积占圆面积的百分比也就是扇形的圆心角占圆周角的百分比。)
四、申请:1。会观察统计图表。
2.你得到了什么数学信息？
回答(1)，* * *占总数的百分之几；
②* *所占比例最大，而* *所占比例最小；
3.你还会问什么数学问题？* *和* * * *分别占多少百分比？
数学广角:数字和形状
1，每张图片的总点数可以看作是两个相同数字相乘的乘积，这些公式也可以用平方数的形式表示。1+3 = 22 1+3+5 = 32 1+3+5+7 = 42:从1开始的连续奇数之和等于奇数的平方。
2.从2开始的连续偶数之和等于偶数加偶数的平方(即(n2+n)，或者等于偶数乘以一个比偶数大的数1，即n×(n+1)。
补充内容(位置)
1，我们用数对(数对:由两个数组成，用逗号隔开，用括号括起来。括号中的数字是从左到右的列数和行数，即“先列后行”)来确定点的位置。如(3，5)所示:(第三列，第五行)
垂直的行称为列(从左向右看)，水平的行称为行(从前向后看)。首先是列，然后是行数。
2.平移用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表示，平移时图形的现状不变。
3.图形左右平移:线条不变；图形上下平移:列不变。
补充内容(“鸡兔同笼”的问题)
一、“鸡兔同笼”问题的特点:
题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总量求每个未知数的单个量。
二是“鸡兔同笼”问题的解决
1，假设法(1)如果全是兔子(2)如果全是鸡；
(一般假设都是大数(多尺)，然后计算两尺之差。用大差除以小差得到小数(几英尺)，最后用总头减得到大数。(我们称之为设大设小，设小设大)
比如34个学生去划船，大船每人4人，小船每人2人。租的12船刚好满员，我就问大船和小船租了多少船。
假设方法:
(1)假设所有船都很大，取12×4=48(人)。
②那么实际人数与大船制造的人数相差48-34=14(人)。
③其实大船比小船多坐4-2=2(人)。
(4)大差÷小差得小量(即得船数)，14÷2=7(条)。
⑤总船数减少时，船数为12-7=5(件)。(注意单位)
2.方程法:比如34个学生去划船，大船坐4人，小船坐2人。租的12船刚好满员，我就问租了多少条大船和小船。
解:如果有X条船，则有12-X条船。
4X+2×(12-X)=34 4X是大船的坐人数，4是大船的坐人数，2×(12-X)是小船的坐人数。每艘船上坐着(12-X)艘船，总人数为30人。2×(12-X)用乘除法计算得到24-2X。
所以4x+2x12-x) = 34。
4X+2×12-2×X=34
4X+24-2 X=34
2 X+24=34
2 X=34-24
2 X=10
X=5
12-5=7(文章)
甲:租五艘大船和七艘小船。