立体几何知识点总结

立体几何知识点总结1。使用公理1确定平面(1)中的直线:如果两个不重叠的点在平面中，则直线在平面中。(2)若两个平面互相垂直，则通过第一平面中垂直于第二平面的一点的直线在第一平面中，即若AB⊥β.然后ABα。(3)垂直于通过该点的已知直线的所有直线都在垂直于该已知直线的平面内，即如果A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，那么aα。(4)平行于本平面通过平面外一点的所有直线都在平面内。那么通过这个平面上的一点并与这条直线平行的直线一定在这个平面上，即如果A∧α，A∈α，A∈b，b∑A，那么bα.2存在唯一性定理(1)只有一条直线通过直线外的一点并与这条直线平行；(2)垂直于已知平面的直线只有一条；(3)在平面外的一点上只有一个平面平行于这个平面；(4)与不同平面的两条直线垂直相交的直线只有一条；(5)垂直于已知直线的平面只有一个；(6)只有一个平面与该平面的一条对角线相交并垂直于该平面；(7)只有一个平面通过两条直线中的一条，并与另一条平行；(8)当通过不同平面中两条相互垂直的直线之一时，只有一个平面垂直于另一个平面。3.投影及相关性质(1)一点在平面上的投影引出一条从一点到平面的垂线，垂足称为该点在该平面上的投影，该点的投影仍然是一个点。(2)一条直线在平面上的投影从直线上的两点引出垂直线，经过两个垂足。不垂直于投影平面的直线的投影是直线。(3)一个图形在平面上的投影一个平面图形上所有点在平面上的投影的集合称为这个平面图形在平面上的投影。当图形所在的平面垂直于投影平面时，投影就是线段。当图形所在的平面与投影平面不垂直时，投影仍然是图形。(4)投影的相关性质从平面外的一点到该平面引出的垂直线和对角线:(I)投影相等的两条对角线相等，投影较长的对角线也较长；(ii)相等的对角线有相等的投影，较长的对角线有较长的投影；(iii)垂直线段比任何对角线线段都短。4.空间中的各种等角定理和推论定理。如果一个角的两条边和另一个角的两条边平行且方向相同，则这两个角相等。由此推断，若两条相交直线与另外两条相交直线平行，则两组直线所成的锐角(或直角)相等。定义了异面直线形成的角度(1)。过空间中任意一点O，分别引入直线A '∨A和B '∨B，那么A '和B '所成的锐角(或直角)称为A和B在不同平面上所成的角。(2)取值范围:0 < θ ≤ 90。(3)解法①根据定义，通过平移，(2)求解含θ的三角形，求出角θ的大小。(5)直线与平面所成的角(1)定义了平面所成的角有三种:(I)垂直面所成的角的对角线与其在平面上的投影所成的锐角称为这条直线与这个平面所成的角。(ii)垂直线与平面形成的角直线垂直于平面。那么它们形成的角就是直角。(iii)直线平行于平面，或在平面内，则它们所形成的角度为0。(2)取值范围为0 ≤ θ≤ 90。(3)求解方法①作对角线在平面上的投影，求对角线与平面所成的角θ。(2)求解含θ的三角形，求其大小。(3)最小角定理是对角线是平的。它是这条斜线和一条在平面上穿过斜脚的直线所形成的所有角中最小的角。换句话说，斜线与平面所成的角，不大于斜线与平面中任何一条直线所成的角。6.二面角和二面角的平面角(1)平面被一条半平面直线分成两部分。每个部分称为半平面。(2)从二面角的直线出发的两个半平面所形成的图形称为二面角。这条直线称为二面角的边，这两个平面称为二面角的面，即二面角由半个平面、一条边和半个平面组成。如果两个平面相交，则以两个平面的交线为边，形成四个二面角。二面角的大小是用它的平面角来衡量的。一般认为二面角的平面角θ的取值范围为0 < θ≤ 180 (3)。二面角的平面角①以二面角边上的任意一点为端点，使射线分别垂直于两个平面中的边。这两条光线形成的角叫做二面角的平面角。∠PCD是二面角α-AB-β的平面角。平面角∠PCD的大小与顶点C在边AB上的位置无关。②二面角的平面角具有以下性质:(I)二面角的边缘垂直于其平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD。(ii)从二面角的平面角一侧的任意一点(②垂足必须在平面角(或其反向延长线)的另一侧)。(iii)二面角的平面垂直于二面角的两侧，即PCD⊥α平面、PCD⊥β.平面③求(或作)二面角的平面角的主要方法。(一)定义法(二)垂直面法(三)三垂线法(四)根据特殊图形的性质求二面角大小的常用方法。(4)先求(或作)二面角的平面角θ，再通过解三角形得到θ的值。(2)使用。s’是这个平面图形在另一个平面上的投影面积，α是二面角的大小。③利用异面直线上两点间的距离公式计算二面角的大小。7.空间中各种距离到平面的距离(1)定义了平面外的一个点，该点通向一个平面的垂线，该点与垂足之间的距离称为该点到该平面的距离。(2)计算点与平面距离的常用方法。(2)掌握线段(所需距离)所在三角形的解法。(2)利用两个平面相互垂直的性质，即如果已知点在已知平面的垂直面上，则已知点与两个平面的交点的距离就是所需的点面距离。(3)体积法包括以下步骤:(1)在平面上选取适当的三个点，与已知点组成一个三棱锥；②计算三棱锥的体积V和三点组成的三角形的面积S；③从v = s h，求H就是解。这种方法的优点是不用画垂直线就可以求出点到平面的距离。难点在于如何构造一个合适的三棱锥进行计算。4)变换法将点到平面的距离转化为(平行)直线到平面的距离。8.直线与平面的距离(1)定义了一条直线平行于一个平面，可以找到这条直线上的任意一点。它叫做直线到平面的距离。(2)求直线与平面距离的常用方法①直接用定义来验证(或连接或制作)某一线段作为距离，然后通过解三角形来计算。②将直线与平面的距离转换为点与平面的距离，然后用解三角形或体积法求解。③作为辅助垂直面，将直线与平面的距离转换为点与直线的距离。9.平行平面之间的距离(1)定义了一条平行线。它被称为两个平行平面的公共垂线。夹在两个平行平面之间的那部分公垂线叫做两个平行平面的公垂线。两个平行平面的公共垂直线段的长度称为两个平行平面之间的距离。(2)求平行平面间距离的常用方法是直接用定义来验证(或连接或制作)一条线段作为距离，然后通过解三角形来计算。(2)换算面间平行距离，再换算成线间平行距离。最后转换成点线(面)距离，用解三角形或体积法求解。非平面直线的距离(1)定义垂直相交的直线称为两条非平面直线的公垂线。两条非平面直线间线段的长度，称为两条异面直线间的距离。任意两条确定的不同平面的直线都有唯一的公共垂直线段。(2)求两异面直线间距离的常用方法①定义方法给出的条件，找出(或作出)两异面直线的公共垂直线段，然后根据有关定理和性质求出公共垂直线段的长度。这种方法一般用于两个不同平面的直线互相垂直的情况。(2)变换方法有以下两种形式:直线与平面的距离③。