如何渗透小学数学思想
《九年义务教育全日制小学数学课程标准》(试行稿)提出:“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要的数学知识和基本的数学思维方法。”因此，在小学数学教学中有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法，可以加深学生对数学概念、公式、定理和规律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是实现数学教育从传授知识向培养学生分析和解决问题能力转变的重要途径，也是小学数学教学中素质教育的真正内涵。在小学阶段，数学思想主要有符号思维、类比思维、分类思维、方程与函数思维、建模思维等。
第一，象征思想
西方国家较早地将符号引入数学研究。16世纪，数学家吠陀对数学符号进行了许多改进，他第一个有意识地、系统地用字母表示已知数、未知数及其幂，带来了代数研究的显著扩展，奠定了符号代数的基础。后来，伟大的数学家笛卡尔改进了吠陀使用的字母。用符号语言(包括字母、数字、图形和各种特定符号)描述数学的内容，就是符号思维。在数学中，各种量的关系、量的变化以及量与量之间的推导和计算都是用小写字母来表示数字，大量的信息是用符号的浓缩形式来表示的，比如乘除法则(A+B) × C = A× C+B× C，其中A、B、C不仅可以表示65、438+0、2、3，还可以表示4。再比如，在带余数的除法教学中，最后出现了一道思考题:六一晚会上，小明按照3个红色气球、2个黄色气球、1个蓝色气球的顺序，将气球串起来装点教室。你知道第24个气球是什么颜色吗？学生有许多方法来解决这个问题。比如用字母A、B、C分别代表红、黄、蓝气球，可以根据题意转换成以下符号形式:aabbc aabbc aabbc aabbc aabbc.....从而直观地找到气球的排列规律，得出第24个气球是蓝色的结论。
这些都是符号化思想的具体表现，将所有数据实例融为一体，用简单明了的字母公式表达复杂的语言和文字，便于记忆和使用。正如华所言，“数学的特点是抽象，正因为如此，符号表示具有更广泛的应用和优越性。”这种用符号体现的数学语言是一种世界性的语言，也是一个人数学素养的综合体现。
将客观事物和现象及其关系概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再到抽象符号化的过程。小学生在数学学习中会遇到更多的困难，从接受到应用，这就需要老师从介绍字母使用历史入手，从善如流，加强训练。
二、类比思维
数学类比是指根据两类数学对象的相似性，将一类数学对象的已知性质转移到另一类数学对象上，可以解决一些看似复杂困难的问题的思想。就迁移过程而言，有些类比非常明显、直接、简单，如从学习加法交换律A+B = B+A迁移到学习乘法分配律A×B = B×A；但有些类比只能在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂。
比如有一个数学奥林匹克竞赛:一个科学考察队要翻越一座山进行科学考察。早上8点上山，每小时走3公里，到达山顶休息1小时。下坡时，每小时走5公里，下午2点到达山脚。全程19公里。上山下山的路程有多少公里？分析:这个问题表面上看起来是一个trip问题，实质上不过是“鸡兔同笼”问题的典型变化。其特征在于:
(1)已知两件事的单值:上坡速度3km下坡速度5公里。
(2)已知这两个不同事物的总数:5小时不包括剩下的1小时；全程19公里。
(3)要求的是这两个不同事物的数量:上山和下山的时间分别是多少？可见，这个问题的解决方法和“鸡兔同笼”问题的解决方法是一模一样的。假设5个小时都是上坡时间，* * *的行走距离为3× 5 = 15 (km)，比实际行走距离19少了15 = 4 (km)，因为下坡时间也被视为上坡时间，所以下坡时间为4 ÷。因此可以得出下坡距离为5× 2 = 10 (km)，上坡距离为19-10 = 9 (km)。当然，我们也可以以此类推，假设这五个小时都是下坡时间来求解。数学中所有公式定理的应用都是类比思维的直接体现。
目前小学数学教材中的类比比较多，杂志上发表的一些定理，问题的引申、推论、延伸也是类比的反映，需要教师去探索和实施。比如矩形的面积公式是长×宽= a× b，以此类推，三角形的面积公式也可以理解为长(底)×宽(高)÷ 2 = a×。同样，圆柱体体积的公式是底面积×高，所以圆锥体的体积可以理解为底面积×高。类比的思想不仅使数学知识通俗易懂，而且使公式的记忆自然简洁，能激发学生的创造力。正如数学家保利亚所说，“我们应该讨论这些概括、专门化和类比的过程，它们是发现的伟大源泉。”
第三，分类的思想
数学中的每一个概念都有其独特的本质特征，都按照一定的规律展开变化，它们之间存在着从质变到量变的关系。要正确理解这些概念，就要根据具体的标准来分析具体的概念。这就是数学的分类思想，就是将研究区域内的数学对象按照一定的标准分成若干部分进行分析研究。
一般来说，我们在分类时要求符合互斥、不遗漏和简单的原则。比如，以能否被2整除为例，整数可以分为奇数和偶数；如果我们把自然数按约数分类，可以分为质数、合数和1。几何图形中的分类更为常见。比如学习“角度分类”时，涉及到很多概念，这些概念之间的关系渗透着量变到质变的规律。将几个角按程度分类，从量变到质变，推断出三角形中最大的角大于、等于、小于90°，可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形。三角形可分为等边三角形和等边三角形，等边三角形可分为正三角形和等腰三角形。不同的分类标准会有不同的分类结果，产生新的数学概念和数学知识结构。由于分类讨论，第一，学生在学习数学的过程中，潜移默化地受到辩证唯物主义的启迪；另一个对学生的能力有明显的区分作用，分类研究在现实世界中的普遍性作为一种数学思想必然会引起人们的关注。
比如，教完多位数读写法后，设计一个开放题:下面五张卡片分别写着数字0，0，1，2，3，可以用来组成许多不同的五位数，求所有五位数的平均值。解析:以最高位数为基础，把所有能组成的五位数分成三类，然后按降序排列如下。
(1)10023 (2)20013 (3)30012
10032 20031 30021
10203 20103 30102
10230 20130 30120
10302 20301 30201
10320 20310 30210
12003 21003 31002
12030 21030 31020
12300 21300 31200
13002 23001 32001
13020 23010 32010
13200 23100 32100
这36个数的平均数，万位数上的数是2，可以由(1+2+3) ÷ 3 = 2确定，其他位数上的数是1，可以由(1+2+3) × 6 ÷ 36 = 65438+确定。平均值为21111。
第四，方程和函数的思想
在已知数和未知数之间建立方程，把生活语言“翻译”成代数语言的过程，就是方程思维。笛卡尔曾设想将所有问题归为数学问题，然后将数学问题转化为方程问题，即通过问题中已知量与未知量的数学关系，用数学符号语言将其转化为方程(组)，这就是方程思想的起源。
到了小学，学生在解决应用题时还停留在小学算术的方法上，一时接受不了方程的思想，因为解题时只允许特定的已知数参与运算，算术的结果就是求未知数的解。算术解题过程中最大的弱点就是不允许未知数作为运算对象，这也是算术的致命伤。在代数中，未知数和已知数一样有参与运算的权利。字母所代表的未知数并不是被动地静止在方程的一边，而是和已知的数字一样，可以接受并执行从方程的一边到另一边的各种运算，这样已知和未知之间的数学关系就非常清晰了。如果在小学中高年级的数学教学中不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。比如稍微复杂的分数和百分比应用问题，trip问题，归约问题等。，用代数方法求解就比较简单了，就是假设未知数，因为数用字母X表示后，所需的未知数和已知数处于对等位置，数量关系更明显，更容易思考，找到求解思路。在现代数学中，方程的思想与函数的思想有着密切的联系，函数利用运动和变化的观点，在集合的基础上，把变量之间的关系归结为两个集合中元素之间的对应关系。数学思想是对现实世界中数量关系深入研究的必然产物。恩格斯在《自然辩证法》一书中已经明确阐述了变量的重要性:“数学中的转折点是笛卡尔的变量，有了变量，运动就进入了数学；有了变量，辩证方法就进入了数学；有了变量，微分和积分是立即需要的。“数学思想本质上辩证地反映了数量关系的变化规律，这是现代数学发生和发展的重要基础。在小学数学教材的实践中，有以下几种形式:
6×3= 20×5= 700×800=
60×3= 20×50= 70×800=
600×3= 20×500= 7×800=
有的老师，让学生做完计算，答案是正确的。有经验的老师是这样设计教学的:先计算，再核对答案，然后让学生观察答案的特点(寻找规律)，答案的变化是如何引起的。然后出现以下两组问题:
45×9= 1800÷200=
15×9= 1800÷20=
5×9= 1800÷2=
通过比较，让学生认识到“当一个数变化，另一个数不变时，这个数是有规律变化的”。结论可以由学生用自己的话讲，仅供体验，不可死记硬背。对具体问题中变量之间关系的研究和分析，一般以解析表达式的形式表达。这时候可以把解析表达式理解成方程，通过对方程的学习来分析函数问题。中学这方面的内容很多，比如正负比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、三角函数等。小学虽然不多，但也有一些，比如在分数应用题中很常见，一个具体的量对应一个抽象的分数，所以找出量和分数的对应关系是解题的关键；在实际问题中也很常见，比如行程问题，公交车的速度和行程时间对应公交车行驶的距离，而货车的速度和行程时间对应货车行驶的距离；再比如一元方程x+a = b等等。学好这些函数是进一步学习的必要条件；建造师需要思维的飞跃；运用函数思想，不仅能满足解题要求，而且思路清晰，解题巧妙，引人入胜。
五、建模思路
目前，世界著名数学家和数学教育家弗里登塔尔提出的“现实数学教育”的思想已经得到国际数学教育界的广泛认可，并被广大数学教师所接受。这种思想说明一个学校数学具有现实的性质，数学来源于现实生活，然后应用于现实生活；第二，学生学习数学要实事求是，即学生通过熟悉的现实生活逐渐发现并得出数学结论。这意味着数学课程的应用性和实践性已经成为国际数学课程改革的一个基本趋势。
比如1989数学课程标准和美国数学教师协会2000标准的一个基本特点就是强调数学的应用；荷兰从20世纪60年代开始了现实数学教育的改革进程。到20世纪90年代初，荷兰几乎所有的中小学生都已经在使用基于现实数学教育思想的数学教材，注重培养学生的数学应用意识和实践能力。日本的数学课程设置了综合学科学习，也体现了对数学知识综合应用的关注。这个系列其实强调的是一种数学建模思想。
所谓数学模型，是现实世界中针对特定研究对象的数学结构，为了某种目的，经过一些必要的简化和假设后，用数学语言表达出来的。数学建模思想是从数学的角度发现、提出和理解现实世界中待解决或未解决的问题，并通过转化过程，化简为一类已解决或易解决的问题，综合运用所学的数学知识和技能加以解决的数学思想和方法。
数学中的各种基本概念都是基于各自的现实模型。比如自然数集是用来描述离散量的模型；各种几何图形也是从现实中抽象出来的数学模型。那些基本的数学模型使我们能够对与之相关的实际问题做出推论。
比如在平面图形区域一章的复习中，我设计了这样一个综合学习题目:独立运用所学的图形，为自己的房间做一个简单的马赛克设计。
学生顺利解题的关键是理清各种平面图形之间的知识关系。教学中可建立平面求积模型S = AB，由直角求积公式导出正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形的求积公式，沟通了所有平面图形的内在联系。同时，随着相关边长的变化，说明这些平面图形可以相互转化。学生学会了建模，有顿悟感。
在此基础上，通过探索平面图形的镶嵌，让学生知道三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，进而设计出自己的房间镶嵌方案。在这整个过程中，强调了“问题情境——建模——分类解决——讲解应用”的基本过程，引导学生主动参与、实践、独立思考、合作探究，实现学习方式的转变，改变单一记忆、接受、模仿的被动学习方式，发展学生收集和处理信息的能力，以及交流与合作的能力。
当然，在数学教育中，加强数学思想方法的渗透不仅仅是单一的思维活动，它本身就包含着情感素养的影响。这一点在传统数学教育中往往被忽视。在强调学习知识和技能的过程和方法的同时，更应该关注伴随这一过程的积极的情感体验和正确的价值观。标准将“情感与态度”作为四大目标领域之一，并与知识与技能、数学思维、问题解决三大领域相比较，充分体现了新一轮数学课程标准改革对培养学生良好情感和态度的高度重视。应该包括能够积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。在数学学习活动中获得成功经验，锻炼克服困难的意志，建立自信。初步了解数学与人类生活的密切关系及其在人类历史发展中的作用，体验充满探索和创造的数学活动，感受数学的严谨性和数学结论的确定性，形成实事求是的态度和独立思考的习惯。另一方面，引导学生学会合作学习，在学习知识的过程中培养探索和创造精神，形成正确的人格意识。
现代数学思维方法的内涵极其丰富，如集合思想、极限思想、最优化思想、统计思想、猜想与证明等。，这些都涉及到小学数学教学。我们小学数学教师应该在教学中兢兢业业，有意识地渗透和指导，重视数学史的渗透，重视课堂教学总结，以适应小学生年龄特点的通俗化、生活化的方式呈现教学内容，让学生通过实践活动学会用数学思维方法提出问题、分析问题、解决问题，使学生的数学思维能力得到有效发展，提高全民族的数学文化素养。
主要参考文献:
1.九年义务教育全日制小学数学课程标准(实验稿)
2.和谐与创新，解读新一轮基础教育课程改革，教学与管理，2002-2-1
3.许，“现实数学教育中基于情境问题的教学模式分析”，《国外教育资料》2000-4。
4.孔启平，“近年来国际数学课程改革的一些趋势”，《国外教育资料》2000-6