数学概念教学1 ——小学数学教学与创新能力培养札记之三
？数学最基本的概念是本质的、一般的，是学生学习知识的导航仪，是学生思维活动的金钥匙。培养学生的数学思维能力，应以基本概念为核心，引导学生把握新旧知识的连接点，把握逻辑推理的新起点，研究问题发现、知识发生、概念形成、结论推导、规律揭示的过程。研究已有知识如何成为后续知识的基础，使知识网络本身体现出知识传授和能力培养的“顺序”，使前后知识相互包容，自然演绎，在思维上为学生提供一个从已知到未知的逻辑思路，从而形成一个具有较高思维价值的知识网络。一个发展、移动、扩展和发散的知识网络。？
？马新岚老师从小学数学的540多个概念中，抓住了十几个基本的、决定性的概念作为知识网络的节点，并把它们放在教学的核心，以此统领其他数学概念，从而确定了知识网络中的概念从属关系。在教学过程中，通过掌握概念、关系和结构来指挥整个知识体系。
小学生的第一个数学概念，也是最重要的核心概念是“和”。这是为什么呢？可以从生活经验和“和谐”在数学知识结构中的地位两个方面来讨论:
第一，把“和谐”这个概念作为小学生的第一基本概念，符合儿童现有的知识、经验和智力水平。
？结合小学数学的教学内容，培养学生的抽象思维能力是小学数学教学的首要任务。所谓抽象思维，是指人们运用概念、判断和推理过程的思维方式和方法。小学生抽象思维的发展处于初级阶段。从小学数学的整体知识来看，刚入学的孩子几乎没有积累抽象思维所必需的数学概念。那么，我们应该先帮助学生掌握哪个概念呢？这取决于他们现有的知识、经验和智力水平。而“和谐”的概念符合这一要求。
？“和”的概念本质上体现了部分与整体的关系，我们可以通过研究部分与整体的关系来研究“和”。由于在日常生活中对事物进行“分”和“合”的体验，小学生在入学前就积累了很多关于“部分”和“整体”的知识和经验。在教学中，教师引导孩子从生活中的“分与合”入手，梳理和完善自己的生活经验，让孩子理解和掌握“部分与整体”的含义及其关系。再者，生活和数学是对应的。生命组合成数学语言是“+”，生命分割成数学语言是“-”。在教学中，教师要有效利用转化将新知识转化为旧知识，最原始的知识是儿童的生活经验。就像，生活中的分离和结合。从孩子的学习来看，“部分”和“整体”更强调“关系”，而不是“和谐”。换句话说，用“整体”和“部分”来表达“和谐”，使知识更加具体化，便于孩子认识到相关知识之间的关系，可以大大提高学习的效率。比如把两个部分结合起来就是一个整体，从这个整体中去掉一个部分就是另一个部分。这些很好理解的生活经验对应着一系列的数学语言——加数+加数=和，一个加数=和-另一个加数；负-负=差，负-差=负，负+差=负。
二、“和”在小学数学知识结构中的核心地位。
从小学数学的整体知识结构来看，小学数学涉及的问题几乎都是在求“整体”或“部分”，属于“和”的概念。只是研究的数的范围在扩大，寻找“整体”和“部分”的方法在扩大。下面我们按照各年级的“数运算”来介绍一下这部分知识的顺序:
1.一年级是以加减和“部分”与“整体”关系的教学为主。
当孩子达到一定的抽象思维时，你可以给出这样的草图:
2.二年级主要以大小与数的关系、乘除法、份额与总数的关系为教学内容。
？所谓大小与数的关系，其实可以转化为一级知识，在比较两个数的情况下，看作是部分与整体的关系。分析表明，比较两个量有两种基本情况:一是两个量相同，二是两个量不相同，从而产生大数和小数。折线图可以用来以这种方式表示不同的情况:
这两个量看似无关，其实不然。和小数相比，大数自然分为两部分:一部分和小数一样多，一部分比小数多，也就是它们的差异。
大小与数的关系是研究大数、小数以及它们的区别之间的关系。在这一点上，如果我们把小数隐藏起来，单观察大数就很容易看出来。这个线图展示了“小数部分”、“差”和“大数”之间的关系。
从这个角度来看，只要我们用“一样多”的概念，把小数转换成大数中有一样多小数的部分，大小和数的关系自然就转换了部分和整体的关系。
当“整体”平均分成若干部分，每个“部分”都相同时，“部分”与“整体”的关系就转化为“部分”的关系。因此，“份”是“部分”与“整体”关系中的一种特殊形式；乘除法的研究就是在这种特殊情况下求整体和求部分的计算方法的研究。
3.初三研究的主要内容是“时代”和时代之间的关系。如果把“部分”和“整体”的特殊形式转化为两个量的比较，以较小的数为标准，就形成了“倍数”的概念。倍数关系在比较两个量的情况下可以看做“份额总关系”，还是一个求整体求局部的问题。
4.四年级研究的一个重要知识是分数的意义。与“倍数”的区别在于，它以较大的数为准，较小的数是较大数的几倍。
5.四五六年级数学知识中涉及的数量关系仍然是前三年学过的，只是数字的范围从整数扩大到了小数和分数(百分数)。
从上面的分析中，我们可以清楚地看到，“和”的概念支配着小学所有一步应用题的内在联系，是小学数学大部分知识的基础。而且以“和”的概念为核心，知识之间的关系和知识的扩展呈现出严密的逻辑关系，是培养学生抽象思维能力的丰富资源。