数学家高斯的故事(他计算了1+2+3+4。。。。。。+99+100故事)！
1+2+3+4+…+99+100=?
老师做完题后，全班都沉浸在计算中，但高笑·斯很快算出答案等于5050。高斯为什么计算又快又准？原来，小高斯通过仔细观察发现:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。
1 ~ 100可以被50个对数整除，每个对数之和相等。于是，小高斯巧妙地把这个问题计算为
(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法确实巧妙，简单快捷，广泛适用于等差数列的求和问题。
把几个数排成一行称为一个数列，数列中的每个数称为一项，其中第一项称为第一项，最后一项称为最后一项。一个数列的最后一项和前一项之差相等称为等差数列，最后一项和前一项之差称为容差数列。例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;
(3)8,15,22,29,36,…,71。
其中(1)是第一项为1，最后一项为100，容差为1的等差数列；(2)第一项为1，最后一项为99，容差为2的等差数列；(3)是首项为8，末项为71，容差为7的等差数列。
等差数列的求和公式是通过高斯巧妙的计算方法得出的:
总和=(第一项+最后一项)×项数÷2。
例1 1+2+3+…+1999 =？
分析求解:这一系列加数1，2，3，…，1999是等差数列，第一项是1，最后一项是1999。* *有1999的号码。可以从等差数列求和公式中得到
原公式=(1+1999)×1999÷2 = 199000。
注意:在使用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的每个加数是否构成等差数列。
例2 11+12+13+…+31 =？
分析求解:这个数列的加数是11，12，13，…，31是等差数列，第一项是11，最后一项是31，* *有36538。
原公式=(11+31)×21÷2 = 441。
使用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，需要先求出项数。根据第一项、最后一项和公差之间的关系，我们可以得到
项数=(最后一项-第一项)÷允差+1，
最后一个项目=第一个项目+允差×(项目编号-1)。
例3 3+7+11+…+99 =？
分析求解:3，7，11，…，99是等差数列，容差为4，
项目编号= (99-3) ÷ 4+1 = 25，
原公式= (3+99) × 25 ÷ 2 = 1275。
例4求等差数列前40项之和，其第一项为25，容差为3。
解:最后一项= 25+3× (40-1) = 142，
且= (25+142) × 40 ÷ 2 = 3340。
利用等差数列的求和公式以及求项数和末项的公式，可以解决与等差数列求和有关的各种问题。
例5下图中，每个最小的等边三角形的面积是12cm2，边长是1根火柴棍。问:(1)最大的三角形的面积是多少平方厘米？(2)整个图形由多少根火柴杆组成？
解析:最大的三角形* * *有8层。从上到下摆动时，每层小三角形的数量和使用的匹配数如下:
从上表可以看出，每层小三角形的个数是等差数列，每层的匹配个数也是等差数列。
解:(1)最大三角形面积为
(1+3+5+…+15)×12
=[(1+15)×8÷2]×12
= 768(平方厘米)。
(2)火柴棍的数量是
3+6+9+…+24
= (3+24) × 8 ÷ 2 = 108(根)。
答:最大三角形的面积为768cm2，整个图形由108根火柴组成。
例6盒子里有三个乒乓球。一个魔术师第一次从盒子里拿出一个球，把它变成三个球，然后把它放回盒子里。第二次，我从盒子里拿出两个球，把每个球换成三个球，然后放回盒子里...第十次，我从盒子里拿出十个球，把每个球换成三个球，放回盒子里。此刻盒子里有多少个乒乓球？
分析和解决方法:一个球变成三个球，实际上多了两个球。第一次多2个球，第二次多2×2个球...第十次2×10多球。所以吃了十次之后，就多了很多。
2×1+2×2+…+2×10
=2×(1+2+…+10)
= 2× 55 = 110(仅限)。
加上原来的三个球，盒子里有球* * * 110+3 = 113(只)。
综合公式为:
(3-1)×(1+2+…+10)+3
= 2×[(1+10)×10÷2]+3 = 113(仅限)。
练习3
1.计算以下问题:
(1)2+4+6+…+200;
(2)17+19+21+…+39;
(3)5+8+11+14+…+50;
(4)3+10+17+24+…+101。
2.求首项为5，末项为93，容差为4的等差数列之和。
3.求等差数列前30项之和，第一项为13，容差为5。
时钟每小时报时一次，报时数等于小时数，每半小时报时一次。问:钟不分昼夜地敲多少下？
5.求100内所有数除以3和2的和。
6.在所有两位数中，有多少位* * *比个位数大？