弓地区小学
示例1。
如图20-1，求图中阴影部分的面积。
45○
10
45○
10
20-2
20-1
思维导航
方案一:阴影部分的一半可以看成一个扇形减去一个等腰直角三角形(如图20-2)。等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高度高于斜边的一半，圆的半径为20 ÷ 2 = 10 cm。
3.14×102×-10×(10÷2)×2 = 107(平方厘米)
答:阴影面积为107平方厘米。
解法二:以等腰三角形底边的中点为中心点。将图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变成了半径为10 cm的半圆的面积减去两个直角为10 cm的等腰直角三角形的面积之差。
45○
20-3
(20÷2)2×(20÷2)2×= 107(平方厘米)
答:阴影面积为107平方厘米。
练习1
如图20-4，求阴影部分的面积(单位:cm)。
如图20-5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸、一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸和一张黄色正方形纸组成一个直角三角形。两张红色和蓝色的三角形纸的面积之和是多少？
C
45○
四十九个
29
四十九个
29
四十九个
六
45○
B
45○
20-5
A
D
20-4
例2。
如图20-6，求图中阴影部分的面积(单位:cm)。
a
四
负的
20-7
六
20-6
思维导航
解法一:先用矩形的面积减去小扇形的面积得到空白部分(a)的面积，再用大扇形的面积减去空白部分(a)的面积。如图20-7所示。
3.14×62×(6×4-3.14×42×)= 16.82(平方厘米)
解决方案2:如图20-8所示，将阴影部分处理为(1)和(2)。把大小扇形面积加起来，刚好算出空白部分和阴影的面积(1)，也就是长方形的面积。
负的
增加
(2)
(1)
20-8
3.14×42×+3.14×62×-4×6 = 16.28(平方厘米)
答:阴影面积为16.82平方厘米。
A
练习2
A
B
C
D
2
60○
20-11
20-10
B
20-9
C
如图20-9所示，△ABC是等腰直角三角形。求阴影部分的面积(单位:cm)。
如图20-10所示，三角形ABC为直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。画一个以AC和BC为直径的半圆，两个半圆的交点在AB侧。求图中阴影部分的面积。
如图20-11，图中平行四边形的一个角为600，两个边的长度分别为6 cm和8 cm，高度为5.2 cm。求图中阴影部分的面积。
例3。
在图20-12中，正方形的边长是10厘米。求图中阴影部分的面积。
20-14
20-13
20-12
思维导航
方案一:用一个正方形的面积减去一整圆的面积，得到空白部分的一半(如图20-13)，然后用正方形的面积减去所有空白部分。
空白部分的一半:10×10-(10÷2)2×3.14 = 21.5(平方厘米)。
阴影区面积:10×10-21.5×2 = 57(平方厘米)。
解法二:将图中八个扇形的面积相加，会多出一个正方形(如图20-14)，八个扇形的面积正好等于两个整圆的面积。
(10÷2)2×3.14×2-10×10 = 57(平方厘米)
a:阴影部分是57平方厘米。
练习3
求下图中阴影部分的面积(单位:cm)。
三
四
10
10
五
20-17
20-16
20-15
例4。
在正方形ABCD中，AC = 6厘米。求阴影部分的面积。
D
C
B
A
D
C
B
A
20-18
思维导航的难点在于正方形的边长未知，所以扇形的半径未知。但是我们可以看到AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性，斜边上的高度高于斜边的一半(如图20-18)，我们就可以求出等腰直角三角形ACD的面积，然后求出正方形ABCD的面积，也就是扇形半径的平方。这样虽然没有找到半径，但是可以找到半径的平方，或者直接把半径的平方代入圆面积的公式进行计算。
正方形的面积和半径的平方是6× (6÷ 2 )× 2 = 18(平方厘米)。
阴影面积为:18-18×3.14÷4 = 3.87(平方厘米)。
a:阴影面积为3.87平方厘米。
练习4
如图20-19和图20-20所示，每个图形中正方形的面积为50平方厘米，分别计算每个图形中阴影部分的面积。
如图20-21所示，正方形中的对角线长10 cm，与正方形相交的两个相对顶点以其边长为半径做圆弧。求图中阴影部分的面积(试试，可以想出几种方法)。
20-21
20-20
20-19
例5。
在图20-22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
A
B
A
B
20-22
思路导航阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。而扇形的半径是未知的，无法得到，所以我们求平方面积和扇形面积半径的关系。我们用扇形的半径做一个新的正方形作为边长(如图20-23所示)。从图中可以看出，新正方形的面积为30× 2 = 60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然找不到半径，但是可以找到半径的平方，然后直接把半径的等式代入公式进行计算。
3.14×(30×2)×-30 = 17.1(平方厘米)
答:阴影区面积为17.1 cm2。
练习5
如图20-24所示，平行四边形的面积是100平方厘米。求阴影部分的面积。
如图20-25所示，O为小圆的圆心，CO垂直于AB，三角形ABC的面积为45平方厘米。求阴影部分的面积。
A
A
D
如图20-26所示，半圆的面积是62.8平方厘米。求阴影部分的面积。
O
C
C
B
O
45○
B
20-26
20-25
20-24
回答:
练习1
如答案20-1所示，由于三角形BCD中BC边的高度等于BC边的一半，阴影部分的面积为:62×3.14×-6×(6÷2)×= 5.13 cm2。
如图20-2所示，将红色直角三角形纸旋转90°，红色和蓝色直角三角形会形成直角边分别为49 cm和29 cm的直角三角形。因此，所需面积为:
49× 29× = 710.5平方厘米
连2号
如图20-3，可以看到两个半圆重叠，从中减去一个三角形的面积，得到阴影部分的面积。
(2÷2)2×3.14××2-2×2×= 1.14 cm2。
思路和第一个问题一样。
(4÷2)2×3.14×+(2÷2)2×3.14×-4×2×= 3.85 cm2。
如图20-4，用两个扇形的面积之和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影部分的一半，所以阴影部分的面积为:
(82+62)×3.14×-8×5.2×2 = 21 cm2
连3号
如图A 20-5所示，阴影面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即:
(10÷2)2×3.14×4-10×10 = 57平方厘米。
如答案20-6所示，阴影部分的面积等于半圆和扇形面积之和减去一个三角形的面积，即102×3.14×+(10÷2)2×3.14×-10×。
如图A 20-7所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积。整个图形的面积减去最大半圆的面积等于阴影部分的面积，即:
(4÷2)2×3.14×+(3÷2)2×3.14×+4×3×-(5÷2)2×3.14×= 6平方厘米。
连4号
(1)因为圆半径的平方等于平方面积，所以阴影部分的面积为
(50 ÷ 4) × 3.14 = 39.25平方厘米
(2)因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以阴影部分的面积为
50-50×3.14×1075平方厘米
提示:仔细阅读例4，先求扇形半径的平方，再试求阴影部分的面积。
10×(10÷2)×3.14×2-10×(10÷2)= 28.5平方厘米。
练习5
如图20-8，连接AC可知平行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所以阴影部分的面积为100÷2×3.14×-100×= 14.25平方厘米。
如图20-9所示，
(1)因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方，所以小圆面积的一半就是45× 3.14× = 70.65平方厘米。
(2)因为大圆半径的平方等于三角形ABC面积的两倍，所以大圆的面积是45× 2× 3.14× = 70.65平方厘米。
(3)拱门AB的面积为70.65-45 = 25.65平方厘米。
(4)阴影面积为70.65-25.65 = 45平方厘米。
3.如答案20-10所示，
(1)半圆半径的平方为62.8× 2+3.14 = 40 cm2。
(2)三角形AOB的面积是40 ÷ 2 = 20cm2。
(3)阴影部分所在圆的半径平方为40× 2 = 80平方厘米。
(4)阴影面积为80×3.14×-20 = 11.4 cm2。