余数的数学术语
例如，如果27除以6，商是4，余数是3。
2.一个数除以另一个数，如果比另一个数小，商就是0，余数就是它本身。
例如，如果1除以2，则商为0，余数为1。当2除以3时，商是0，余数是2。在整数的除法中，只有两种情况:可除和不可除。当它不能被整除时，就会产生一个余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数运算:
A mod b = c表示整数a除以整数b得到的余数是c。
例如，7 mod 3 = 1余数有以下重要性质(A，B，C为自然数):
(1)余数与除数之差的绝对值小于除数的绝对值(适用于实数域)；
(2)股息=除数×商+余数；
除数=(被除数-余数)÷商；
商=(被除数-余数)除法器；
余数=被除数-除数×商。
(3)如果a和b除以c的余数相同，那么a和b的差可以被c整除..比如17和11除以3的余数是2，那么17-11就可以被3整除。
(4)A和B的和除以C的余数(除了A和B除以C没有余数之外)分别等于A和B的余数之和除以C(或者这个和的余数除以C)。比如23，16除以5的余数分别是3和1，那么(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注:当余数之和大于除数时，余数等于余数之和并除以c的余数..比如23，19除以5的余数分别是3和4，那么(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
(5)A和B的乘积除以C的余数分别等于A和B的乘积除以C的余数(或乘积除以C的余数)。比如23，16除以5的余数分别是3和1，那么(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数的乘积大于除数时，余数等于余数的乘积除以c的余数，例如23，19除以5的余数分别为3和4，那么(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。
性质(4)和(5)可以扩展到多个自然数的情况。示例1 5120除以一个两位数，余数是64。找出这个两位数。
分析和解决方案:
从性质(2)可知，除数×商=被除数-余数。
5120-64=5056,
5056应该是除数的整数倍。将5056分解成质因数以获得
5056=64×79。
根据性质(1)，除数应该大于64，然后除数是两位数，除数在67到99之间。
5056的除数只有79，所以这个两位数是79。
例2被除数、除数、商、余数之和是2143，已知商是33，余数是52。求被除数和除数。
解:因为被除数=除数×商+余数=除数× 33+52，
被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，
所以除数×33+52=2058-除数，所以除数=(2058-52)÷34=59，
股息=2058-59=1999。
答:被除数是1999，除数是59。
例3数A和B之和为1088，数A除以数B的商为11，求数A和B。
解:因为A = B× 11+32，
所以A+B = B×11+32+B = B×12+32 = 1088，
所以b =(1088-32)÷12=88，
A =1088- B =1000。
甲:甲的号码是1000，乙的号码是88。
例4有一个整数，70，110和160相除得到的三个余数之和为50。找到这个号码。
分析和解决方法:首先从题目条件中找出这个数的大概范围。因为50 ÷ 3 = 16...2，三个余数中至少有一个大于16，推断的除数大于16。三个余数之和是50，除数应该不大于70，所以除数在17 ~ 70之间。
从题的意思来看，(70+110+160)-50 = 290应该能被这个数整除。290的质因数分解，290=2×5×29和290在17 ~ 70之间的约数是29和58。
因为110 ÷ 58 = 1...52 > 50，所以58无关紧要。整数是29。
例5求478×296×351除以17的余数。
分析求解:先求积再求余数，需要大量的计算。根据性质(5)，我们可以先计算每个因子除以17的余数，然后求余数除以17的乘积。
478，296，351除以17的余数分别是2，7和11，(2× 7× 11) ÷ 17 = 9...65438.
余数是1。
例6甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可坐36人。两个代表团坐满几辆车后，A团剩下的11人和B团剩下的成员刚好坐满另一辆车。参观结束后，A团成员和B团成员两人一组合影留念。如果每张胶片可以拍36张照片，那么在拍完最后一张照片后，相机中的胶片可以拍多少张照片？
分析及解决方法:多辆车装满后，A团人数为11，即A团人数除以36+01；剩下的两个团刚好坐满了一辆车，也就是说B团人数是36-11=25(人)，也就是B团(简写为B)人数除以36等于25；A团每个成员和B团每个成员两人一组拍一张照片，* * *拍“A数x B数”张照片，因为每张片子拍36张，所以最后一张片子拍的照片数等于“A数x B数”除以36的余数。
因为A除以36余数11，B除以36余数25，“A × B”除以36的余数等于11×25除以36。
(11×25)÷36=7……23,
也就是上一部片子拍了23个镜头，可以拍36-23=13(镜头)。
从例6可以看出，把实际问题变成大家熟悉的数学问题，有助于我们思考问题，解决问题。
例7 5397除以一个质数，余数是15。找出这个质数。
解:这个质数是可除数。
5397-15=5382,
和5382=2×31997×13×23。
因为除数大于余数15，而且除数是质数，所以只能是23。
当被除数较大时，求余数的一个简单方法是从被除数中逐渐去掉被除数的整数倍，从而得到余数。
例8求645763除以7的余数。
解决方法:可以先去掉7的倍数，630000，大于15763，再去掉1763，再去掉1400，再去掉350，大于13。最后余数是6。这个过程可以简单地记录为
645763→15763→1763→363→13→6.
如果微积分能力强的话，上面的过程可以更简单的写成:
645763→15000→1000→6.
用余数除法可以得出以下有用的结论:
如果两个数被同一个除数除尽，并且有相同的余数，那么这两个数的差可以被这个除数整除。
例9有一个大于1的整数，用967，1000和2001相除得到相同的余数。这个整数是什么？
解:从上面的结论来看，整数应该能被967，1000和2001的差整除，即
1000-967=33=3×11,
2001-1000=1001=7×11×13,
2001-967=1034=2×11×47.
这个整数就是这三个差的公约数11。
请注意，我们不必找出三个不同点，只要两个就够了。因为从这两个差异中总能得到另一个差异。
比如1000-967和2001-1000的出差，
太糟糕了
2001-967=(2001-1000)+(1000-967)
=1001+33
=1034
从带余公式中，我们还可以得出以下结论:
如果两个数A和B除以同一个除数得到两个余数，那么两个数A和B之和除以这个除数，它的余数就是两个余数之和除以这个除数得到的余数。
比如57除以13，5，152除以13和9，那么57+152=209除以13，余数就是5+9=14除以13。
示例10有一串连续排列的数字，其中第一个数字是15，第二个数字是40。从第三个数字开始，每个数字正好是前两个数字的和。1998除以3的余数是多少？
解决方法:我们可以根据题目的条件写出这串数字，然后看看每个数字除以3是什么规律，但是这样做太麻烦了。根据上面提到的结论，我们可以采取以下措施:从第三个数开始，将前两个数除以3得到的余数相加，再除以3，得到这个数除以3的余数，这样就很容易计算出前十个数除以3的余数，如下表所示:
从表中可以看出，第九和第十二个数除以3的余数与第一和第二个数除以3的余数相同。因此，这一系列数除以3的余数是每八个周期一次，因为
1998= 8×249+ 6,
所以1998数除以3的余数应该和第六个数除以3的余数一样，也就是2。
一些有规律的数字经常循环出现。我们的计算方法是循环系统。计算时间为
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
这十二个数字形成一个循环。
按照七天一轮，天数是
一天，一，二，三，四，五，六。这也是一个循环，相当于一些连续自然数除以7的余数。
0，1，2，3，4，5，6的循环，利用循环系统计算时间:时钟，周，月，季，说明人们很早就发现了循环现象。用数字来反映循环现象也是很自然的。
循环现象，我们也称之为具有“周期性”和12个数的循环，即周期为12和7个数的循环，即周期为7。例如，10中余数的循环是8。研究数的循环，发现周期性，确定周期性，很有意思。
再举两个余数循环现象的例子。在讲例子之前，先说一个用余数除法得出的结论:
两个数A和B被同一个除数除，得到两个余数。那么两个数A和B的乘积除以这个除数，它的余数就是两个余数的乘积，除以这个除数得到的余数。
比如37除以11，4，27除以11，5，37× 27 = 999除以11，余数是4×5=20除以11。
1997=7×285+2，我们知道1997×1997除以7的余数是2×2=4。
例11 191997除以7？
解:从上面的结论我们知道191997除以7的余数和21997除以7的余数是一样的。我们只需要考虑2的一些乘法，余数除以7。
先写一列数字
2,2×2=4,2×2×2 =8,
2×2×2×2=16,…
然后一个一个除以7，列个表，看看有什么规律。该列表如下:
事实上，你可以通过将最后一个数乘以2，然后除以7，得到最后一个数除以7的余数。(为什么？请考虑一下。)
从表中可以看出，第四个数的余数与第一个数的余数相同，都是2。根据上面余数的计算，我们知道第五个数的余数和第二个数的余数是一样的，……因此，余数每三个数循环一次。循环的周期是3。
1997=3×665 +2
已知21997除以7的余数与21997除以7的余数相同，这个余数是4。
让我们看一个稍微复杂一点的例子。
例12 70个数排成一行，除了两端的两个数，每个数的三倍正好等于两边两个数之和。该行最左边的数字如下:
0,1,3,8,21,55,…
问:最右边的数字(第70个数字)除以6是多少？
解法:首先要注意，从第三个数开始，每个数正好等于前一个数的三倍减去前一个数:
3=1×3-0,
8=3×3-1,
21=8×3-3,
55=21×3-8,
……
但是，一个一个数，然后一个一个地除以六，真的太麻烦了。你能从前一个余数算出余数吗？可以！和计算行数的方法一样(为什么？)，从第三个数开始，余数的计算方法如下:
用前一个数的余数乘以3，减去前一个数的余数，然后除以6，余数是
这样余数就可以一个一个算出来了，列表如下:
注意，计算第八个数的余数时，会出现0×3-1，这在小学数学的范围内是不允许的，因为我们求的是余数除以6，所以可以把0×3加到6上，然后减去1。
从表中可以看出，第十三和第十四个数的余数对应第一和第二个数的余数，所以我们知道余数的循环周期是12。
70 =12×5+10
因此，第七十个数除以6的余数与第十个数的余数相同，即4。
在孙子一千多年前的计算中，有这样一道算术题:
“我不知道今天的事情的数量。三三两两，五五两，七七两。事物的几何是什么？”按照今天的话说:
把一个数除以3和2，除以5和3，除以7和2，求这个数。
这种问题也被称为“韩信点兵”。形成一类问题，就是初等数论中的解同余公式。这类问题的条件解法被称为“中国剩余定理”，是中国人提出来的。很多小学数学课外读物都喜欢讲这类问题，但它的一般解法绝不是小学生能理解的。这里，我们通过两个例子来介绍一个针对较小数字的流行解决方案。
例13有一个数，除以3和2，除以4和1。这个数除以12是多少？
解答:被3和2除的数是:
2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23…
除以12的余数是:
2,5,8,11,2,5,8,11,…
除以4，剩下的1数是:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,…
除以12的余数是:
1, 5, 9, 1, 5, 9,…
一个数除以12的余数是唯一的。上面两行只有5是同一个* * *，所以这个数除以12的余数是5。
在上面的解法中，我们把被3除2的整数，被4除1的整数一一列出来，然后再把被12除的余数一一考虑，找出与被12除的余数相同的余数。这种枚举法在数量较少的情况下非常有用，也是学生最容易接受的。
如果我们改变例23中的问题，不是找到除以12的余数，而是找到这个数。显然，有许多数字符合条件，它们是
5+ 12×整数
整数可以取0，1，2，…，无穷无尽。其实我们先找出5后，注意到12是3和4的最小公倍数，再加上12的整数倍，都是满足条件的数。这就是除“除以3和2，除以4和1”。《孙子算经》提出这个问题有三个条件。我们可以先把两个条件合二为一，再和第三个条件合起来求答案。
例14将一个数除以3和2，除以5和3，除以7和2，求满足条件的最小数。
解法:先列出被3和2除的数:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,
然后列出除以5和3的数字:
3, 8, 13, 18, 23, 28,….
在这两列中，第一个公约数是8.3，5的最小公倍数是15。这两个条件合二为一了。
8+15×整数，
列表中这个字符串的编号是
8, 23, 38,…,
然后列出被7除剩下2的数。
2, 9, 16, 23, 30,…,
得出满足题目要求的最小数为23。
其实我们已经把题目中的三个条件合二为一了:除以105，23。
最后看一个例子。
例15 100和200之间有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除。写出这三个连续的自然数。
解法:先找两个连续的自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除(也能被3整除，1)。比如求9和10，下一个连续自然数是11。
3和5的最小公倍数是15。考虑到11加15的整数倍，相加的数可以被7整除。115438+05× 3 = 56能被7整除，那么54，55。
为了满足“在100和200之间”的要求，分别在3、5和7的最小公倍数105上加54、55和56。
159, 160, 161.