小学数学概念教学中应注意的问题

概念本身有其严格的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定的，这就是概念的确定性。由于客观事物的不断发展变化和人们认识的不断深入，反映客观事物本质属性的概念也在不断发展变化。而小学阶段的概念教学往往是分阶段进行的，考虑到小学生的接受能力。比如“数”的概念，在不同的阶段有不同的要求。一开始我只知道1，2，3，...，然后我渐渐知道了零。随着学生年龄的增长，我引入了分数(小数)，然后逐渐引入了正数和负数，有理数和无理数，将数扩展到实数和复数的范围。再比如对“0”的理解。一开始我们只知道它表示没有，后来我们知道它可以表示数位上没有单位，我们也知道“0”可以表示边界等等。

因此，数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成为教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的关键是把握概念教学的阶段性目标。

为了加强概念教学，教师必须认真研读教材，掌握小学数学概念的体系，弄清概念发展的脉络。概念是一步步发展的，它们是相互联系的。不同的概念有不同的具体要求，即使同一个概念在不同的学习阶段也有不同的要求。

很多概念的含义都是逐渐发展起来的，一般都是通过描述给出，然后定义。比如对分数含义理解的三次飞跃。第一次，在学习小数之前，让学生初步了解分数。"如上所述，，，，，等等都是分数."通过大量感性直观的了解，结合具体的事物来描述什么是分数，初步理解分数是一个平均分，明白谁是谁的分数。第二次飞跃是从具体到抽象，将单位“1”平均分成几份，表示其中一份或多份可以用分数表示。从具体事物中抽象出来。然后总结了分数的定义，只是描述性地给出了分数的概念。这是感性的飞跃。第三次飞跃是对单位“1”的理解和拓展。单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以表示一个组等。最后抽象出谁划分谁就是单位“1”，这样单位“1”和“1”这三个层次就不可能一蹴而就。要展示知识的发展过程，引导学生在知识发展过程中理解分数。

再比如对长方体和正方体的理解，很多教材都是分两个阶段。到了低年级，对长方体、正方体的初步认识首先出现，学生可以观察一些实物和实物图，比如装墨水瓶的纸箱、魔方等。积累一些关于长方体和正方体的感性知识，知道它们是什么形状，知道这些形状的名称。然后通过操作和观察，可以知道一个长方体和一个正方体有多少个面，每个面是什么形状，从而进一步加深我们对长方体和正方体的感性认识。然后从物体中抽象出长方体和正方体的图形(不是透视图)。但是，在这个教学阶段，要求学生知道长方体和正方体的名称，并能够识别和区分这些形状。仅仅停留在感性认识的层面。第二阶段是在高年级。教学还是要从实例引入。在讲授长方体知识时，让学生先收集长方体的实物。老师先解释什么是长方体的面、棱、顶点。让学生分别统计面、边和顶点的数量，测量边的长度，计算每个面的大小，比较上下、左右、前后边和面的关系和区别。然后总结了长方体的特征。然后从长方体的实例中抽象出长方体的几何图形。然后，学生可以通过与实物的对比来观察图形，在不改变观察方向的情况下，找出自己最多能看到多少个面和边。什么是看不见的，如何在画面中表现出来。学生也可以想一想，看一看，逐渐理解一个长方体的几何形状，形成正确的表示法。

在把握阶段性目标时，要注意以下几点:

(1)在每个教学阶段，概念都要明确，以免造成概念混乱。有些概念没有严格定义，但要根据学生的接受能力，或者用描述代替定义，或者用通俗易懂的语言揭示概念的本质特征。同时，以后注意严格定义。

(2)当一个教学阶段完成时，应指出概念是根据具体情况发展变化的。比如，一个学生知道了长方体后，认为课本上的任何一张纸也是长方体。说明学生对长方体的概念有了进一步的理解，老师应该予以肯定。

(3)概念发展时，教师不仅要指出原始概念与发展概念的联系和区别，使学生掌握，还要引导学生学习相关概念，注意其发展变化。比如“倍数”这个概念，在整数范围内，通常是指如果把A的量看成1，B的量有这么几个，那么B的量就是A的几倍，引入分数后，发展出了“倍”的概念，发展出的“倍”的概念包括了原来的“倍”的概念。如果把A的量看作L，B的量也可以是A的量的一个分数..

因此，在数学概念的教学中，要明确概念的顺序，了解概念之间的内在联系。随着客观事物本身的发展变化和研究的深入，数学概念也在不断发展演变。学生对数学概念的理解也需要随着数学学习的提高而逐步加深。教学时，既要注意教学的阶段，又要把后面的要求提到前面，超出了学生的认知能力；还要注意教学的连续性，给前面概念的教学留有余地，为后面的教学埋下伏笔。从而处理好掌握概念的阶段性和连续性的关系。

2.加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾。

虽然教材中的大部分概念都没有严格的定义，但都是基于学生所知道的实际案例或已有的知识经验，尽可能通过直观具体的形象帮助学生理解概念的本质属性。对于不易理解的概念，暂不给出定义或采取分阶段逐步渗透的方法解决。但是对于小学生来说，数学概念是抽象的。他们在形成数学概念时，一般都需要有相应的感性经验作为基础，要经历一些时间把感性材料在头脑中来来回回，从模糊到逐渐清晰，从众多的相关材料中，通过自己的运算和思维活动，逐渐建立起事物的大致面貌，分离出事物的主要本质特征或属性，这是形成概念的基础。因此，在教学中，必须加强直觉，解决数学概念的抽象性与学生思维的形象性之间的矛盾。

(1)通过演示和运算，转化具体和抽象。

在教学中，要尽可能地将一些相对抽象的内容通过适当的演示或操作转化为具体的内容，进而抽象出概念的本质属性。

几何的基础知识，无论是线、面、体的概念，还是图形的特征、性质的概念，都很抽象。因此，在教学中要加强演示和操作，让学生通过测、摸、荡、拼来理解这些概念，从而抽象出来。

比如“圆周率”这个概念就很抽象。有些老师在课前安排每个学生做一个半径自定的圆。上课时，让每个学生在课堂练习本上写三个内容:(1)写出自己做的圆的直径；(2)自己滚圈，测量一周滚圈的长度，写在练习本上；(3)计算圆的周长是直径的几倍。课程结束后，要求每个学生报告自己的计算结果，并将结果整理成下表。

圆的直径(厘米)圆的周长(厘米)是直径的几倍。

A26.23.1

B39.63.2

C412.63.15

D515.73.14

然后引导学生分析，发现无论一个圆的大小，它的周长总是比直径的三倍多一点。这时就透露出这个倍数是一个固定的数，数学上叫圆周率。然后让学生随意画一个圆，测量直径和周长来验证。这样就引导学生对大量感性材料进行分析、综合、抽象和概括，摒弃事物的非本质属性(如圆的大小、计量所用的单位等。)，抓住事物的本质特征(圆周总是直径的三倍多一点)，形成概念。

这样，教师借助直观教学，利用学生原有的基础知识，逐渐抽象，联系紧密，层次清晰。通过物理演示，学生可以建立表象，从而解决数学知识的抽象性和儿童思维的形象化之间的矛盾。

(2)结合学生生活实际，进行具体和抽象的转化。

教学中的许多数量关系是从具体的生活内容中抽象出来的。因此，在教学中要充分利用学生的生活实际，采用适当的方法进行具体和抽象的转化，即将抽象的内容转化为学生具体的生活知识，再将学生的生活知识抽象为教学内容。

比如在乘法和换元法的教学中，经常要求学生先回答这样的习题:一支每盒10支的钢笔，每支3元，买两盒钢笔要多少钱？学生发现有两种方法可以解决这个问题。一个办法是先搞清楚“每盒多少钱”，再搞清楚“两盒多少钱”。公式为(3×10)×2=60元；另一种是先搞清楚“一个* * *”有多少支笔，再搞清楚“2盒多少钱”。公式为3×(2×10)=60元。乘法分配律的教学也让学生回答类似的问题，比如:一件外套，50元，一条裤子，30元。像这样买五套衣服要多少钱？这样，借助学生熟悉的生活场景，抽象的问题变得具体。

同一共同数量关系中的单价、总价和数量之间的关系；距离、速度、时间的关系，工作量、工作效率、工作时间的关系，要结合学生的生活经验，通过具体的题目抽象出来，然后用这些关系来分析问题，解决问题。这种训练有利于学生思维逐渐过渡到抽象思维，逐步缓解知识的抽象性与学生思维的具体形象性之间的矛盾。

但是，利用直觉不是目的，它只是唤起学生积极思考的一种手段。所以概念教学不能只停留在感性认识上。学生获得丰富的感性知识后，要对观察到的事物进行抽象和总结，揭示概念的本质属性，使知识飞跃，从感性上升到理性，形成概念。

3.遵循小学生学习观念的特点，组织合理有序的教学过程。

虽然小学生获取概念有概念形成和概念同化两种基本形式，而且各种概念的形成各有特点，但无论如何获取概念，一般都遵循“引入、理解、巩固、深化”的概念形成路径。以下是对概念教学各个环节的教学策略和应注意的问题的描述。

(1)概念的引入要注意提供丰富典型的感性材料。

在概念引入的过程中，要注意让学生建立清晰的表征。因为建立能够凸显事物本质的清晰典型表征是概念形成的重要基础，所以在小学数学的概念教学中，无论如何引入概念，都要考虑如何让小学生在头脑中建立清晰的表征。在概念教学之初，应根据教学内容，以直观的手段为学生提供丰富、典型的感性材料，如实物、模型、挂图或演示等，引导学生观察，结合实验让学生自己操作，让学生接触相关物体，丰富感性认识。

例如，在一堂关于教学分数意义的课上，一位老师为了突破单元“L”的教学难点，提前给学生提供了各种操作材料:一根绳子、四个苹果、六只熊猫、一张长方形的纸、一条长L米的线段等。通过比较得出结论，一个物体、一个计量单位、一个整体都可以使用单位“1”。

但在引入概念时要注意三点:一是选材要确切。比如对角度的理解，小学时的角度是平面角度，让学生观察黑板、写字等平面上的角度。有些老师让学生观察教室相邻两面墙之间的夹角，是两面，这对于小学的教学要求来说并不确切。第二，所选材料应突出所教授知识的本质特征。例如，直角三角形的本质特征是“有一个直角的三角形”。至于这个直角是三角形中的哪个角，直角三角形的大小和形状并不重要。因此，在教学中应该呈现不同的图形，让学生在不同的图形中识别出自己不变的本质属性。

(2)对概念的理解要注意正反例的辨析，突出概念的本质属性。

概念的理解是概念教学的中心环节。教师要采取一切手段帮助学生逐步理解概念的内涵和外延，让学生在理解的基础上掌握概念。促进概念理解的方法有:

1)分析概念中关键词的真实含义。

例如，分数定义中的单位“1”、“平均分数”和“表示这种份额的数字”，学生只有理解了这些关键词的真实含义，才会对分数的概念有深刻的理解。再如，在讲授完“整除”概念后，要从以下三个方面帮助学生判断:第一，判断是否存在“整除”关系的两个数必须是自然数；第二，这两个数相除得到的商是整数；第三，没有余数。对定义的分析是帮助学生理解概念的另一个改进。三角形高度的定义:“从三角形的顶点向其对边画一条垂直线。顶点和垂足之间的线段叫三角形的高，这一边叫三角形的底。”这里“一个顶点”、“竖线”、“竖脚”都是关键词。为了让学生理解一个三角形的高度，除了字面意义，往往还需要通过实际操作来体验画“高度”的全过程。指出画“高”的关键是画一条垂直线，并注意限制条件:“过三角形的一个顶点(可以是任意顶点)，作其对边的垂直线和顶点与垂足之间的线段”。这样就把实际操作过程和画出的三角形高的图形与定义中描述的内容进行了比较，使学生准确理解三角形高的定义。这实际上是在数学概念建立后，帮助学生分析本质属性，不仅将本质属性从定义中再次分离出来，而且使之清晰。

2)辨析概念的正例与反例。

学生能够背诵概念并不代表他们真的理解了概念，还要通过例子突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解。教师既要充分利用正面例子帮助学生理解概念的内涵，又要及时利用反面例子促进学生对概念的辨析。概念揭示后，往往需要根据教学要求组织学生做一些练习。比如，教完三角形按角度分类后，可以说明一个三角形不是直角三角形，两个角是锐角。这个三角形一定是锐角三角形。让学生做出判断，引发学生讨论巩固三角形的分类，从而加深对三角形概念外延的进一步理解。再比如，小数的性质揭示后，学生可以判断0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000这些数，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉。从而加深学生对小数本质的理解。

3)改造本质属性的叙述或表达。

小学生对概念的理解和掌握有一个特点，就是对某个概念的内涵不清楚、不全面，把非本质特征当成本质特征。比如有的同学误认为只有横着放的长方形才是长方形，斜着放就认不出来。因此，经常需要改变概念的叙述或表达方式，让学生从各个方面理解概念。目的是从变式中把握概念的本质属性，排除非本质属性的干扰。因为事物的本质属性可以用不同的语言表达，如果学生能够理解和掌握各种不同的叙述和表达方式，就意味着学生对概念的理解是透彻的、灵活的，而不是死记硬背的。

4)对比分析时间上近似的概念。

在小学数学中，有些概念含义相近，但本质属性不同。如数与数、数与数、奇数与质数、偶数与合数、化简与比、时间与矩、质数、质因数与质数、周长与面积等等。学生经常会对这样的概念感到困惑，一定要及时比较，避免相互干扰。

如果你学的是“整除法”，为了和之前学过的“整除法”进行比较，可以设计这样一个练习题:下面哪个方程是整除法，哪个是整除法？

(1)8÷2=4(2)48÷8=6

(3)30÷7=4……2(4)8÷5=1.6

(5)6÷0.2=30(6)1.8÷3=0.6

引导学生通过分析比较，得出以下结论:第三题是有余数的除法，当然不能说被除数是可分的或可除的，其他题当然可以说被除数是可分的。其中只有题(1)和(2)，被除数、除数、商都是自然数，没有余数。这两个问题可以说，被除数可以被被除数整除，也可以被被除数整除。从上面的分析，让学生明白整除是除法的特例，包括整除和所有商都是有限小数的情况。

学完比，就可以用列表法设计比与除法、分数的关系的习题，明确“除法是运算，分数是数，比是关系”的区别。

3)注重概念的应用，充分发挥概念的作用。

概念的正确灵活运用要求学生正确灵活地运用概念进行判断，进行推理、计算、绘图等。，并运用概念分析和解决实际问题。理解概念的目的是使用概念，使用概念的方法有:

1)引导实例

这就要求学生简单地将所获得的概念运用到实践中，通过例子来说明概念，加深对概念的理解。有经验的老师，根据小学生对概念的理解通常是具体的这一特点，总是让学生在分析、综合、抽象、概括之后，举例使概念具体化。从具体到抽象，再回到具体，符合小学生的认知规律，使学生更准确地把握概念的内涵和外延。

比如，学生在获得了真分数和假分数的概念后，可以分别举出一些真分数和假分数的例子。了解圆柱体的特点后，让学生谈论日常生活中什么物体的形状是圆柱形的。

2)用于计算和绘图等。

比如，学生在学习了乘法的运算法则后，就可以很容易地计算出下面的问题。

104×2548×25101×35×2

14×99+1425×32146+9×146

(80+8)×258×(125+50)34×5×2

在掌握了分数的基本性质后，要求学生熟练地做出一般分数和折算分数，并说明一般分数和折算分数的依据。学习完小数的性质后，学生可以根据需要简化或改写小数。学会等腰三角形后，可以设计一套运算题；画一个等腰三角形；画一个顶角为60度的等腰三角形；画一个腰长2厘米的等腰直角三角形。

3)应用于生活实践

数学的概念来源于生活，所以必然要回归生活的现实。教师引导学生运用概念解决数学问题，是培养学生思维、发展各种数学能力的过程。而且，只有让学生将所学的数学概念应用到实际生活中，才能巩固所学的概念，提高运用数学概念的技能。因此，教师应根据教材内容和学生实际，在掌握小学数学教材逻辑体系的基础上，有意识地深化和发展学生的数学概念。

比如，学完圆的面积，有老师设计了这样一个问题:“我们学了圆的面积公式。谁能想办法计算一下学校操场上杨树树干的截面积？”同学们讨论了一下，有的说必须先知道半径才能算圆面积，只有把树砍倒了才能算半径；有人对此不以为然，认为树一砍就死。这时老师进一步引导说:“那你能不能想出一个不砍树的方法来计算横截面积？”我们再讨论一下。“学生们渴望得到正确的答案。通过积极思考和论证，他们终于找到了一个好办法，就是先测量树干的周长，再计算半径，然后利用面积公式计算出树的横截面积。下课后，很多同学去操场实际测量树干的周长，计算截面积。再如，在讲授比例应用题时，可以启发学生利用旗杆高度与影子长度的关系，巧妙计算旗杆高度。这样，通过创设有效的教学情境和教师的及时指导，不仅启发了学生的思维，而且培养了他们学以致用的兴趣和能力，加深了他们对所学概念的理解。

(4)注意概念之间的比较分类，深化概念。

小学数学知识的特点是系统性强，联系紧密。然而，由于小学生思维发展水平和接受能力的限制，一些知识的教学往往是在几节课或几个学期内完成的，这就不可避免地不同程度地削弱了知识之间的联系。在一定阶段要对一些相关的概念或规律进行系统的梳理，让学生在头脑中建立起知识的网络，形成良好的认知结构。特别是在中高年级，可以引导学生对概念进行分类，明确概念之间的联系和区别，形成概念体系。