竖径定理及其推论讲稿
竖径定理及其推论讲座草稿1各位专家评委:
你好！我很高兴有机会参加这次活动，并得到您的指导。
我演讲的题目是:圆的轴对称性-竖径定理及其推论。是人教版九年级实验教材数学第二十四章第一节第二部分垂直于弦的直径的内容。
这部分内容教材安排了两节课，第一节重点讲圆的轴对称性，第二节重点讲圆的旋转不变性。
基于我对教材的理解和班上学生的实际情况，我把圆的对称性一节课的内容调整为两节课。今天我讲的是第一节课——竖径定理及其推论。
下面，我从教学内容、教学目标、教学方法和手段、教学过程设计四个方面来阐述。
一，教学内容的描述
教师只有对教材有更准确、深刻、本质的理解，从“假如我是学生”的角度审视学生的接受程度，才能处理好教材。
竖径定理及其推导反映了圆的重要性质，是证明线段、圆弧相等和垂直关系的重要依据，为圆的计算和绘制提供了重要依据。所以这部分内容是学习的重点，竖径定理及其推导的问题和结论比较复杂混乱，所以也是学习的难点。
鉴于这种认识，通过阅读教材，我确定了以下教学内容:
(1)了解圆的对称性。
(2)明确竖径定理及其推导的问题和结论。(3)利用竖径定理及其推论进行相关计算和证明。
(4)学习与竖径定理相关的添加辅助线的方法。
教学重点:竖径定理及其推论
教学难点:竖径定理的证明方法，其中圆的对称性是理解竖径定理的关键。
二，教学目标的确立
根据这节课的具体内容和学生的实际情况，我确立了以下教学目标:
1.通过直观演示理解圆的轴对称性。
2.通过“实验-观察-猜想-证明”掌握竖径定理及其推论。
3.利用竖径定理解决证明、计算和作图问题。4.培养学生的数学直觉能力和抽象概括能力。激发学生的探索精神。
三，教学方法和手段的选择
在教学方法上:该班主要采用在教师指导下，学生自主探究、小组合作学习、分层教学、分层评价的方法。
在教学过程中遵循“实验-观察-猜想-证明-讨论-总结-应用”的思路，让学生从感性认识上升到理性认识，再上升到实际应用。遵循“循序渐进”的原则，引导学生在独立分析、认真思考的基础上，以小组讨论的形式进行合作探究，从而解决问题、掌握方法。同时考虑到不同层次学生的学习需求，力求在问题、例题、习题的设置上，让每一个学生都有所收获。
在教学方法方面:我使用直观演示的教学工具和计算机辅助教学来提高课堂教学效率。
第四，教学过程的设计
1，坚持一个原则:学生是主体，教师是教学过程的组织者、引导者、合作者。
2、围绕一个目的:落实教学目标。
3.突出一个特色:通过“实验——观察——猜测——证明——应用”，帮助学生实现从感性认识到理性认识的过渡
4.使用方法:借助教具的直观性和计算机辅助教学，启发学生发现定理，从而对定理进行抽象概括。
5、收到了一个效果:通过本课的学习，学生可以理解定理的内涵，学会运用定理解决问题。同时集学习知识、培养能力、优化思维品质于一体。
法律学习指导:
动手操作，观察推测，交流讨论，分析推理，归纳总结，让学生积极参与过程，交流互动。
本课的教学过程包括:
推陈出新，引导探索——动手操作，观察猜想——引导论证，得出结论——多实践，分层评价——反思总结与赋值。
(1)引经据典，引导探究。
人类对事物的认识大多遵循从感性认识到理性认识，从旧认识到新认识的上升过程。因此，我首先引导学生复习与本课新知识相关的旧知识，并展示以下两个问题:
(1)什么是轴对称图形？
(2)观察下列哪个图形是轴对称的？并指出对称轴的个数。
第一题的目的是唤起学生的记忆，明确轴对称图形的概念。然后选取几个常见的几何图形让学生判断，其中平行四边形从反面加强了对轴对称图形的理解。第二组是关于logo图案的轴对称图形，让学生知道我们身边随时随地都有轴对称图形。这时候学生可以举几个实际的例子来激发兴趣。
然后出示圆，问:圆是轴对称图形吗？
它有几个对称轴？
对称轴在哪里？
然后学生们可以折叠圆形纸片，
老师的投影演示很清楚:
圆是轴对称图形。它有无数对称轴，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴。
这样，通过创设问题情境，激发学生的好奇心，推陈出新，就引出了这节课的主题——圆的对称性。
(2)动手操作、观察和猜想
先让学生按要求在事先准备好的圆形纸上画画、折叠、观察、猜测。我画一个⊙ O的和弦AB。
二。画AB在C和D处与O相交的垂直线，垂足为e .
问题1:有多少条直线通过O点并垂直于AB？(给出理由)
设计意图:明确只有一条垂直于弦的直线。
问题2:直径CD的其他性质是什么？(投影)
1.引导学生沿直径CD对折⊙O纸，观察重叠部分，猜测结论。
2、群交换猜想结论。
3、老师的投影演示和学生* * *欣赏猜想结论
设计意图:通过调动学生的各种感官功能，加强学生手脑思维品质。同时为用“叠加法”证明竖径定理做了铺垫。
(3)引导论证，得出结论。
师生得出猜想结论后，老师质疑猜想结果是否正确，必须证明才能把学生的主动思维从实验猜想拉回猜想的严格证明。教学安排:
学生回答已知和验证的问题后教师的投影。
然后引导学生从圆的对称性入手，讨论连接OA和OB后，只要能证明直径CD既是等腰三角形OAB的对称轴，又是圆的对称轴，就可以用圆的对称性来证明结论。然后让学生试着描述老师板书证明的过程。
然后总结了竖径定理的内容。并引导学生分析定理的问题和结论。说明知道题目的两个条件，可以得出三个结论。
此时显示判断题。
(1)穿过中心的直径平分弦(×)
(2)垂直于弦的线平分弦(×)
(3)在⊙ O中，若OE⊥和弦AE在e中，AE=BE(√)。
引导小组讨论，允许争论的关键是让学生说明理由，举反例。在交流讨论、统一思想后，教师要充分利用评价机制鼓励学生，强调竖径定理的圆的对称性——竖径定理及其推论中的两个条件缺一不可。同时说明了竖径定理条件中的“直径”是指通过圆心的直线，但应用该条件时，可以得出弦是二等分的，不需要直径，如半径、圆心到弦的距离等。
然后再问:如果把题目中的两个条件改成“直径平分弦”，是否可以得出另外三个结论？例1教学中自然的引入：
例1:已知:如图，在⊙O中，直径CD与E中的弦AB相交，AE=BE。
核实:CD⊥AB，
通过教师指导和小组讨论分析，证明了竖径定理的推论:平分线(非直径)的直径垂直于弦，平分线对面的两条弧。使学生初步认识到定理中设定的两个条件中的一个可以与三个结论中的一个交换，另外三个结论也可以得出。然后再放一遍小组讨论题。
小组讨论:下列命题是否正确？给出理由
1.弦的垂直平分线穿过圆心，平分与弦相对的两条弧。(√)
2.平分与弦相对的一段弧的直径，垂直平分弦，平分与弦相对的另一段弧(√)。
进一步强化刚才的初步认识，然后总结规律:五个条件，知二推三。在整个过程中，教师要及时引导学生通过画图分析讨论，说明原因，明辨是非，从而有效突破难点，突出重点。
O
(四)多实践，分层次评价
例2:如⊙O所示，弦AB的长度为8cm，中心O到AB的距离为3cm。求⊙ O的半径..
1，选题意图
至此，学生应掌握竖径定理及其推论的基础知识，才能使学生更上一层楼，更好地落实知识点。我布置了例题2，试图通过这个例题让学生明确:在解决关于弦、半径(直径)、圆心到弦的距离的问题时，通常会将竖径定理和勾股定理结合起来。达到一站式沟通的目的。并为例3的讲授铺平了道路。
2.教学安排
一、解题思路:此题提醒学生审视题意，思考如何构造圆的半径和圆心o到弦ab的距离。个人独立思考并建立图形后，小组交流讨论。最后各组派代表展示自己的学习成果并说明原因，老师进行指导，最后投射出完整的解题步骤。ⅱ反思与拓展:问题:你在解决这个问题时用了多少个定理？
通过讨论，学生认识到，在解决有关弦、半径(直径)和圆心到弦的距离等问题时，通常是通过构造直角三角形将竖径定理和勾股定理结合起来。
然后趁热打铁，通过三个不同难度的练习，进一步巩固刚才讨论的成果。
一个组的弦长为8cm，直径为10cm，所以中心到弦的距离为(3) cm。B组，弦CD = 24，圆心到弦CD的距离为5，所以圆O的直径为(26)。如果AB是圆o的直径，弦CD⊥AB在e，AE = 65438在c组，那么CD =(16)ⅲ分层评价:学生的认知水平不同，所以我有意识地把问题按照由易到难的顺序分为a、b、c三组，其中a组是写给学困生的；B组绝大多数同学要掌握题型；C组难度稍微大一点，但是稍微有点脑子的也不是做不到。它面向中上阶层的学生。
需要注意的是，学生每做对一套题就可以得满分。这时候老师就巡视指导，及时评判每组做完的学生，不管谁做对了题，都可以给本组学生打分。这种安排使不同水平的学生都能学到一些东西，并激发他们的学习热情。
然后各组请代表说明解决问题的思路。预热后，举个例子3:
例3:给定直径⊙O为4cm，弦AB=，求∠OAB的度数。
1.选题意图:在巩固例2成果的基础上，给出例3，将解直角三角形和竖径定理的知识连接起来，使知识融为一体——你中有我，我中有你。
2.教学安排:
我解题:问:求角的问题可以通过解直角三角形的问题来解决吗？学生自然会想到构造直角三角形，然后做出正确的辅助线。然后利用特殊角度的三角函数值计算锐角的度数。学生展示成绩后，老师展示完整的解题格式，问:还有其他解题方法吗？这时候圆的对称性可能有些同学得到了，可以用在直角三角形中。如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角线就是30°。教师应给予充分的肯定和鼓励性的评价。然后传递一个证明问题，
练习:如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相交于C、d点验证:AC=BD
再次巩固竖径定理和辅助线的练习。
二。反思与展开:在解决圆内弦的问题时，往往需要将“与弦垂直的直径”作为辅助线。实际上，往往只需要从圆心做弦的垂直段。
(5)反思总结与作业。
本环节主要是让学生谈谈这节课的收获和体会。我会酌情补充。然后，分层作业还是按照学生水平来布置。这样最大限度地调动了学生的积极性，让不同层次的学生都有所收获，在原有基础上得到发展和提高。
以上是我对这门课的讲解。如有不妥之处，请指正。谢谢大家！
竖径定理及其推论讲义2。专家和法官:
你好！我很高兴有机会参加这次活动，并得到您的指导。我说课的题目是:圆里的凹陷。
路径定理的推论。是九年义务教育人教版九年级第二十四章第一节。本内容教材的第二部分安排了两节课，第一节重点讲圆的对称性和竖径定理，第二节重点讲竖径定理的推论。结合我对教材的理解和我班学生的实际情况，从教学内容、教学目标、教学方法和手段、教学过程设计四个方面进行讲解。
一，教学内容的描述
教师只有对教材有了更准确、深刻、本质的理解，以“假如我是学生”的视角看待学习
学生的接受度可以很好的处理教材。同时，竖径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段、圆弧相等和垂直关系的重要依据，也为圆的计算和绘制提供了重要依据，所以这部分内容是学习的重点，同时，由于其题目设置和结论复杂、混乱，也是学习的难点。鉴于这种认识，通过阅读教材，我确定了以下教学过程:
一、精彩介绍，二、实践探索，三、简单应用，四、课堂测试
二、教学目标:
1.利用圆的对称性探索证明竖径定理的推导后，掌握竖径定理及推导；并能利用竖径定理解决相关的计算和证明问题；
2.在研究过程中，进一步体验“猜想-实验-证明-归纳-应用”的方法；3.让学生积极参与实验，体验竖径定理是圆轴对称性的重要体现。
4.通过推理的讨论，逐步培养学生观察、比较、分析、发现和总结问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高。
教学重点:使学生掌握竖径定理及其推论，并记住竖径定理及其推论中的信息。
教学难点:探索和证明竖径定理的推论，能把竖径定理和推论应用到简单的计算或证明中。
教学工具:自制学习工具卡片课件三。教学过程:一、激发兴趣引入
1、视频《碎玻璃》(设计意图:1让学生享受音乐的乐趣，2介绍教学需要的碎玻璃场景)2、生活中的碎玻璃。(这张图是一个房间的装修效果图，在教学的时候抓住了现代学生的心。假设画面是几年后，你会得到一家公司的奖励。)(设计意图:激发学生的学习兴趣，并以此为线索，引导学生将数学知识带入生活。)二、实践探索
活动1:复述竖径定理，说出定理中的条件和结论，用图形将定理转化为已知验证的形式。(设计意图:1使学生更加熟悉竖径定理的条件和结论，为探索竖径定理的推论奠定基础)
竖径定理:垂直于弦的直径二等分弦，1，过圆心垂直于弦的两条弧二等分弦1二等分弦，2二等分弦，3二等分弦，二等分弦的最优弧活动2。
1.观察定理中的条件和结论(设计意图:引猜想、引推论)2。猜想，实验，证明，形成竖径定理的第一个推论。
(1)，猜想:过圆心并平分弦的直线一定垂直于弦平分弦的下弧吗？
平分弦的最佳弧。
(2)实验:用origami得到竖径定理的推论(平分线的直径垂直于弦，
并平分与弦相对的两条弧，但平分的弦不能是直径)
(3)证明:如何证明这个命题为真？根据命题写出已知并被验证:如图，已知CD为直径⊙O，AB为⊙O的弦，AE=BE被验证:AB⊥CD.
AD=BD
AC=BC
(设计意图:让学生熟悉数学知识的探究过程)
3.猜测:五条信息中的任意两条能否已知，并得到剩余的三条。
实验:利用手中的学习工具卡，通过折纸等活动，得出知二推三的结论(注:找到你最怀疑的那个)
(设计意图:让学生自己去探索所有的推论，让他们在以后的应用中能够清晰地理解，不会怀疑。
应用“两推三”的知识，培养学生的团队合作意识和资源* * *) 4。归纳排列(设计意图:让学生熟悉本节课的探究结果)①过圆心②垂直于弦。
(3)平分弦(满足条件时，平分的弦不能是直径，否则不成立)(4)平分弦的最优弧。
(5)平分圆弧的弦。
第三，使用简单
活动1。根据图片填空:在VIII。
哦，
(1)如果MN⊥AB和MN是直径，那么_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；
(2)若AC = BC，MN是直径，AB不是直径，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；(3)若MN⊥AB和AC = BC，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；
(4)如果AM=BM，MN是直径，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _是指
(设计意图:简单应用竖径定理和推论实现练习)
活动2:记忆竞赛
如图，在⊙o中，若半径为R，O到AB的距离为OD=d，BD=a，这三者之间是什么关系？
r2
=a2
+b2
(设计意图:复习勾股定理)
提示:如果Rt△中的两个量已知，可以用勾股定理求第三个量。别忘了和弦AB=2a。
活动三:能力竞赛(设计意图:回忆第一节课。
利用做题经验形成的直角三角形，半径，半弦，弦中心距，勾股定理，辅助线的练习，为解决课前遗留的实际问题打下基础。)
1，in ⊙O，OC垂直于弦AB，AB = 8，OC = 3，则AC =，OA =。2.In ⊙O，OC平分弦AB，AB = 16，
OA = 10，则∠ OCA = 0，OC =。
经验总结:在解决圆内线段问题时，经常需要找到一个由半径、半弦、弦中心距组成的直角三角形，并在其中应用勾股定理。
3已知:如图，若以O为圆心做一个⊙O的同心圆，相交圆的弦AB在C点和D点。如果CD = 6，AB = 8，那么AC = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
10
作为弦穿过圆心的垂直线。
提示:在解决圆中的字符串问题时，通常
16
第四，课堂测试(设计意图:测验学生对这节课的掌握程度)
它们是AB，弦AB的中点，AB=4m，CD=1m。半径OD的长度是多少？
分享成果
经验总结:在求解圆内线段问题时，往往需要通过圆心作为弦的垂直线或者将圆心与弦的端点连接起来。
做一个半径、半弦、弦中心距组成的直角三角形作为辅助线。
知二推三。
①穿过圆心②垂直于弦
(3)平分弦(做条件时，平分的弦不能是直径，否则不成立)
(4)平分弦的上弧(5)平分弦的下弧。
第六，作业
1如图所示，铁路MN与公路PQ在O点交汇，∠QON = 30O A点有一栋居民楼，AO=200m。如果列车运行，噪声会影响150m范围内的周边地区，那么当列车在MN铁路上沿ON方向运行时，居民楼会受到噪声的影响吗？如果火车以25米的速度行驶，
2如图所示，一条高速公路的弯道为圆弦(即图中o点为⊙O的中心，其中CD=600m，e为上点，OE⊥CD，垂足为f，EF=90m，求这条弯路的半径。
竖径定理及其推论讲稿3 I .教材分析
1，内容状况:从知识体系来说，竖径定理是义务教育新课程标准九年级(上册)第三章的内容。它是学生在学习了旋转和中心对称后，对特殊的中心对称图形圆进行深入研究的过程，是学生在学习了圆的基本概念后，对圆的基本性质的新探索。是中考必考点之一。
2.学习目标:
(1)利用圆的对称性探索竖径定理。(2)能运用竖径定理解决问题。(3)全心全意，小心翼翼。
3.重点和难点:
学习重点:竖径定理的探索与应用。学习难点:利用竖径定理解题。
二、学习情境的分析
1.学生心理特点:进入初三后，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，课堂上争强好胜。与以前相比，他们有了一定的知识储备，但学习热情下降，自我意识增强。
2.学生的认知基础:在学习本节之前，学生已经学习了圆的基本概念，明确了直径、弦等基本概念，利用轴对称性质解题，学习了勾股定理，具备了进一步学习竖径定理的基本能力。3.学生的经验基础:学生在之前的学习中已经明确了示范课的学习程序，可以使用学习计划来准备示范。
三、教学规律分析
教学方法分析:针对学生的认知水平和心理特点，在这节课上，我将引导学生在小组合作的学习氛围中进行小组展示，引导学生有组织、有目的、有针对性地积极参与教学活动，鼓励学生采用自主探究、合作交流的学习方法，在观察、思考、应用的过程中养成全面有序思考的习惯。
学习方法分析:作为示范课，学生将在老师的指导下经历明确目标、复习旧知识、准备展示、展示所学知识、巩固提升的过程，培养学生独自学习、静心思考、有效沟通、积极合作、大胆展示的良好学习习惯。
四、教学过程及大致时间分配(1)明确目标，(1分钟)
目标展示在黑板上，老师引导学生理解(2)温故而知新(3分钟)
通过个别提问的方式复习基础知识点，做到充分准备(3)布置任务，准备陈述(5分钟)。
老师布置展览任务，指导学生准备展览。(4)小组演示和变体培训(20分钟)
学生分组，有序呈现。在演示中提问，做变式训练。要求参展者书写规范，流程完整，声音洪亮，表达流畅，衔接紧凑。(5)总结和整理学习计划(3分钟)
同学们会整理错题，补充不完整的解题过程，并要求用双色笔。(6)反馈检测、巩固和改进(12分钟)
完成学习计划的反馈检测部分，争取按课完成。
五、教学后对垂直于弦的直径的反思也叫垂线定理，是初中计算圆的重要一节。这节课主要经过三个环节:第一个环节是让学生通过对自制的圆形图片进行折叠，得出圆是轴对称图形的结论，每一条经过圆心的直线就是它的对称轴，对称轴有无数条。第二个环节是让学生通过探究，获得子午流注定理的内容。第三个环节是利用竖子午线定理解决相关方面的计算。其中，第二个环节是这节课的重点，也是我这节课的一大亮点。具体来说，它经过以下五个步骤:
(1)让学生拿出手中的圆形图片对折，找出圆心。学生很感兴趣。有的同学用两个垂直的直径折叠得到圆心，有的同学用两个倾斜的直径折叠得到圆心，但方法都很好。)
(2)让相互垂直的两个直径中的一个不动，另一个直径向下平移成为普通弦，仍与原直径保持垂直关系。
(3)让学生在他们的图片上画一条垂直于直径的线，并让他们将圆形图片沿直径对折。学生们会发现什么结论？(平分弦，平分弦对面的两条弧)
(4)询问学生在什么条件下得出这些结论。
(5)最后，引导学生总结竖经定理的内容，然后老师会在黑板上补充、强调、书写。通过这种探究过程，大部分学生参与到课堂中，培养了学生的操作能力和创新能力，也激发了学生探究问题的兴趣。学生在这种轻松愉快的活动中掌握了竖径定理，体会到了教学的有效性，这是我觉得这堂课最成功的地方。
当然，全班也有很多不足。比如对垂直定理计算的安排不妥当，具体体现在以下几个方面:(1)学生把课本上的赵州桥问题作为第一个习题来解有点难，一些简单的类型题要先解。比如知道弦的长度和弦到圆心的距离，求圆的半径，这样学生不仅可以巩固竖经定理，还可以体验到成功的喜悦，然后处理赵州桥问题就成了顺理成章的事情。(2)在证明竖子午线定理中弦的等分线的过程中，尽量留一些时间给学生在黑板上写字，避免学生缺乏主动性，课堂上会有更多的学生参与进来。
(3)要给学生渗透一些情感教育，让他们知道数学来源于生活，应用于生活。
总之，在教学设计和课堂教学中要充分了解和研究学生。我们不仅要准备教材，还要准备学生。要真正树立以学生发展为本的教学理念。只有这样，才能给学生提供充分的教学活动和交流的机会，让学生从单纯的知识接受者成为数学学习的主人。